Задание №20 — Числовые наборы на карточках/досках

Решение:
Вспомним определение среднего арифметического: $\text{ср. арифм.} = \frac{S}{n}$, где $S$ — сумма элементов, а $n$ — их количество. Отсюда следует, что сумма набора вычисляется как $S = \text{ср. арифм.} \cdot n$.
Пусть на доске выписаны числа. Возьмем два произвольных набора из трех чисел, которые отличаются только одним элементом: $\{a, b, x_1\}$ и $\{a, b, x_2\}$.
Тогда их суммы равны:
$a + b + x_1 = 3 \cdot M_1$
$a + b + x_2 = 3 \cdot M_2$
Вычитая одно равенство из другого, получим: $x_1 - x_2 = 3(M_1 - M_2)$.
Это означает, что разность любых двух чисел из набора должна быть кратна 3. Проведя аналогичные рассуждения для групп из 4, 5 и 6 чисел, мы придем к выводу, что разность любых двух чисел на доске обязана делиться на 3, 4, 5 и 6 одновременно. Следовательно, разность любых двух чисел делится на $\text{НОК}(3, 4, 5, 6) = 60$.

а) Проверим разность чисел 30032 и 312: $30032 - 312 = 29720$.
Число 29720 не делится на 3 (сумма цифр $2+9+7+2+0 = 20$, что не кратно 3). Значит, такая ситуация невозможна. Ответ: нет.

б) Поскольку число 30032 присутствует в наборе, а разность любых чисел кратна 60, все числа на доске должны иметь вид $60k + 32$, так как $30032 = 500 \cdot 60 + 32$ (дает остаток 32 при делении на 60).
Если среднее арифметическое 6 чисел равно одному из чисел набора, то сумма этих 6 чисел должна быть кратна 60 с остатком 32. Проверим сумму 6 таких чисел:
$\sum_{i=1}^{6} (60k_i + 32) = 60 \sum k_i + 6 \cdot 32 = 60K + 192 = 60K + 180 + 12 = 60(K+3) + 12$.
Мы видим, что сумма дает остаток 12 при делении на 60, а должна давать остаток 32. Противоречие. Ответ: нет.

в) Для того чтобы среднее арифметическое $n$ чисел было числом из того же набора, необходимо, чтобы сумма $n$ чисел вида $(60k + 32)$ при делении на $n$ давала число того же вида. То есть сумма $S_n$ должна удовлетворять условию:
$S_n = n \cdot (60K + 32)$.
С другой стороны, сумма $n$ чисел с остатком 32 по модулю 60 имеет вид:
$S_n = 60 \cdot (\text{сумма } k_i) + 32n$.
Приравняем остатки по модулю 60:
$32n \equiv 32 \pmod{60}$
$32n - 32 = 60m$
$32(n - 1) = 60m$
Разделим обе части уравнения на 4:
$8(n - 1) = 15m$.
Так как 8 и 15 взаимно просты, величина $(n - 1)$ должна быть кратна 15. Минимальное натуральное значение $n > 1$, удовлетворяющее этому условию: $n - 1 = 15 \Rightarrow n = 16$.
Пример такого набора: $\{32, 92, 152, \dots, 30032\}$, где взяты числа с шагом 60. Ответ: 16.

Ответ: а) нет б) нет в) 16

Источник: ФИПИ