Задание №19 — Уравнения с параметром

Решение:
Введем замену переменной: пусть $t = |x - a - 2| + |x - a + 2|$. Тогда исходное уравнение примет вид квадратного относительно $t$: $$t^{2} - at + a^{2} - 64 = 0$$ Исследуем поведение функции $t(x)$. Для этого определим точки, в которых выражения под знаками модулей обращаются в нуль: $x_1 = a + 2$ и $x_2 = a - 2$.
Раскроем модули на различных промежутках числовой оси:
1) При $x \leq a - 2$: $t = -(x - a - 2) - (x - a + 2) = -2x + 2a$;
2) При $a - 2 < x < a + 2$: $t = -(x - a - 2) + (x - a + 2) = 4$;
3) При $x \geq a + 2$: $t = (x - a - 2) + (x - a + 2) = 2x - 2a$.
Графическое представление зависимости $t$ от $x$:

Анализ количества корней исходного уравнения в зависимости от $t$:
— Если уравнение относительно $t$ имеет корень $t = 4$, то исходное уравнение имеет бесконечно много решений (весь отрезок $[a-2; a+2]$).
— Если корень $t < 4$, то решений для $x$ нет, так как минимальное значение суммы модулей равно 4.
— Если корень $t > 4$, то каждому такому значению $t$ соответствуют ровно 2 значения $x$.
Следовательно, для того чтобы исходное уравнение имело ровно 2 решения, квадратное уравнение относительно $t$ должно иметь ровно один корень в области $t > 4$.
Рассмотрим два возможных сценария:
Случай 1: Один корень больше 4, а другой меньше 4.
Для функции $f(t) = t^{2} - at + a^{2} - 64$, график которой — парабола с ветвями вверх, это условие выполняется, если значение функции в точке $t=4$ отрицательно: $$f(4) < 0 \implies 16 - 4a + a^{2} - 64 < 0$$ $$a^{2} - 4a - 48 < 0$$ Решим квадратное неравенство, выделив полный квадрат или через дискриминант: $$(a - 2)^{2} - 52 < 0 \implies (a - 2 - 2\sqrt{13})(a - 2 + 2\sqrt{13}) < 0$$
Получаем интервал: $a \in (2 - 2\sqrt{13}; 2 + 2\sqrt{13})$.
Случай 2: Уравнение имеет единственный корень (кратности 2), и этот корень больше 4.
Это соответствует условиям: дискриминант равен нулю, а абсцисса вершины параболы больше 4. $$\begin{cases} D = a^2 - 4(a^2 - 64) = 0 \\ \frac{a}{2} > 4 \end{cases}$$ $$\begin{cases} -3a^2 + 256 = 0 \\ a > 8 \end{cases} \implies \begin{cases} a^2 = \frac{256}{3} \\ a > 8 \end{cases}$$
Учитывая условие $a > 8$, выбираем положительный корень: $a = \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $(2 - 2\sqrt{13}; 2 + 2\sqrt{13}) \cup \left\{\frac{16\sqrt{3}}{3}\right\}$

Источник: ФИПИ