Решение:
а) Рассмотрим грань $SBC$ и опустим перпендикуляр $BH$ на ребро $SC$. Поскольку $SABCD$ является правильной четырёхугольной пирамидой, треугольники $SBC$ и $SCD$ равны. Следовательно, высоты, проведённые к общему ребру $SC$ из вершин $B$ и $D$, попадут в одну и ту же точку $H$. Таким образом, $DH \perp SC$ и $BH \perp SC$, откуда следует, что прямая $SC$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, образованной прямыми $BH$ и $DH$.

Точка $O$, будучи точкой пересечения диагоналей квадрата $ABCD$, лежит на отрезке $BD$. Так как отрезок $BD$ целиком принадлежит плоскости $\alpha$ (треугольнику $BHD$), то и точка $O$ лежит в плоскости $\alpha$, что и требовалось доказать.
б) В основании пирамиды лежит квадрат $ABCD$ со стороной $2$. Воспользовавшись теоремой Пифагора для $\triangle ABC$, найдём длину диагонали:
$$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2}$$ Так как диагонали квадрата в точке пересечения $O$ делятся пополам, получаем $AO = OC = BO = OD = \sqrt{2}$, а вся диагональ $BD = 2\sqrt{2}$.
Площадь сечения $BHD$ по условию равна $\sqrt{3}$. Выразим её через основание $BD$ и высоту $OH$:
$S_{BHD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot OH \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot OH$, откуда $OH = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$.
Поскольку $SC \perp \alpha$, прямая $SC$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, значит, $OH \perp SC$. Из прямоугольного треугольника $OHC$ по теореме Пифагора вычислим $HC$:
$$HC^2 = OC^2 - OH^2 = (\sqrt{2})^2 - \left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^2 = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow HC = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ В прямоугольном треугольнике $SOC$ высота $OH$, проведённая к гипотенузе, позволяет использовать соотношение: $OC^2 = HC \cdot SC$.
Подставим известные значения: $2 = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot SC$, откуда $SC = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$.
Теперь найдём длину отрезка $SH$:
$SH = SC - HC = 2\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$.
Определим искомое отношение отрезков:
$\frac{SH}{HC} = \frac{3\sqrt{2}}{2} : \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3}{1}$.

Ответ: б) $3:1$

Источник: ФИПИ