Решение:
Введем замену переменной $t = |x - a - 1| + |x - a + 1|$. Тогда исходное уравнение примет вид квадратного относительно $t$:
$$t^{2} + at + a^{2} - 16 = 0$$ Исследуем поведение функции $t(x)$. Для этого определим критические точки, в которых подмодульные выражения обращаются в нуль:
$x_1 = a + 1$ и $x_2 = a - 1$.
Раскроем модули на различных промежутках числовой оси:
1) При $x \leq a - 1$: $t = -(x - a - 1) - (x - a + 1) = -2x + 2a$.
2) При $a - 1 < x < a + 1$: $t = -(x - a - 1) + (x - a + 1) = 2$.
3) При $x \geq a + 1$: $t = (x - a - 1) + (x - a + 1) = 2x - 2a$.
Графическое представление функции $t(x)$:

Анализ количества корней в зависимости от значения $t$:
— Если $t < 2$, уравнение $t = |x - a - 1| + |x - a + 1|$ не имеет решений.
— Если $t = 2$, решением является целый отрезок $x \in [a-1, a+1]$, то есть корней бесконечно много.
— Если $t > 2$, каждому значению $t$ соответствуют ровно 2 значения $x$.
Следовательно, для того чтобы исходная задача имела ровно 2 решения, квадратное уравнение относительно $t$ должно иметь ровно один корень, который строго больше 2 (второй корень при этом должен быть меньше 2, чтобы не давать лишних решений).

Случай 1: Один корень больше 2, а другой меньше 2.
Рассмотрим функцию $f(t) = t^{2} + at + a^{2} - 16$. Это парабола с ветвями, направленными вверх. Условие того, что число 2 лежит между корнями уравнения $f(t) = 0$, равносильно неравенству $f(2) < 0$:
$2^2 + a \cdot 2 + a^2 - 16 < 0$
$a^2 + 2a - 12 < 0$
Найдём корни соответствующего квадратного трёхчлена: $a = -1 \pm \sqrt{13}$.
Решим неравенство методом интервалов:

Получаем интервал: $a \in (-1 - \sqrt{13}; -1 + \sqrt{13})$.

Случай 2: Уравнение имеет единственный корень (кратности 2), и этот корень больше 2.
Это происходит, когда дискриминант равен нулю, а абсцисса вершины параболы больше 2:
$$\begin{cases} D = a^2 - 4(a^2 - 16) = 0 \\ t_{верш} = -\frac{a}{2} > 2 \end{cases}$$
Решим систему:
$$\begin{cases} -3a^2 + 64 = 0 \\ a < -4 \end{cases}$$
$$\begin{cases} a^2 = \frac{64}{3} \\ a < -4 \end{cases}$$

Учитывая условие $a < -4$, выбираем отрицательный корень: $a = -\frac{8}{\sqrt{3}} = -\frac{8\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\left\{-\frac{8\sqrt{3}}{3}\right\} \cup (-1 - \sqrt{13}; -1 + \sqrt{13})$

Источник: ФИПИ