Решение:
а) Рассмотрим грань $SBC$ и проведём в ней высоту $BH$ к ребру $SC$. Поскольку $SABCD$ является правильной четырёхугольной пирамидой, треугольники $SBC$ и $SDC$ равны. Следовательно, высоты, проведённые к общему ребру $SC$ из вершин $B$ и $D$, попадут в одну и ту же точку $H$. Таким образом, $BH \perp SC$ и $DH \perp SC$, откуда следует, что прямая $SC$ перпендикулярна плоскости $\triangle BHD$, то есть $SC \perp \alpha$.

Точка $O$, будучи точкой пересечения диагоналей квадрата $ABCD$, лежит на отрезке $BD$. Так как отрезок $BD$ целиком принадлежит плоскости $\alpha$ (треугольнику $BHD$), то и точка $O$ также лежит в плоскости $\alpha$, что и требовалось доказать.
б) В основании пирамиды лежит квадрат $ABCD$ со стороной $10$. По теореме Пифагора для $\triangle ABC$ находим диагональ: $AC = \sqrt{10^2 + 10^2} = 10\sqrt{2}$. Тогда расстояния от центра основания до вершин равны: $AO = OC = OD = OB = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$.
Заметим, что в условии допущена опечатка в значениях, однако следуя логике вычислений для площади сечения $S_{DHB} = \frac{\sqrt{2}}{3}$ и диагонали $DB = \sqrt{2}$ (при стороне $1 = \sqrt{1^2+1^2}$):
Площадь треугольника $BHD$ выражается как $S_{DHB} = \frac{1}{2} \cdot OH \cdot DB$. Отсюда высота $OH = \frac{2 \cdot S_{DHB}}{DB} = \frac{2\sqrt{2}/3}{\sqrt{2}} = \frac{2}{3}$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $OHC$ (где $\angle OHC = 90^\circ$, так как $SC \perp \alpha$). По теореме Пифагора:
$HC^2 = OC^2 - OH^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{1}{2} - \frac{4}{9} = \frac{9 - 8}{18} = \frac{1}{18}$.
Значит, $HC = \frac{1}{\sqrt{18}} = \frac{1}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{6}$.
В прямоугольном треугольнике $SOC$ катет $OC$ является средним геометрическим между своей проекцией $HC$ и гипотенузой $SC$:
$OC^2 = SC \cdot HC \Rightarrow \frac{1}{2} = SC \cdot \frac{\sqrt{2}}{6}$, откуда $SC = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$.
Вычислим длину отрезка $SH$:
$SH = SC - HC = \frac{3\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{6} = \frac{9\sqrt{2} - \sqrt{2}}{6} = \frac{8\sqrt{2}}{6} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$.
Найдём искомое отношение отрезков:
$\frac{SH}{HC} = \frac{4\sqrt{2}}{3} : \frac{\sqrt{2}}{6} = \frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{8}{1}$.

Ответ: б) $8:1$

Источник: ФИПИ