Задание №13 — Тригонометрические уравнения. Разложение на множители

Решение:
а) Преобразуем исходное уравнение: $1 - \cos 2x + \sqrt{2} \sin x = \sqrt{2} - 2 \sin (x + \pi)$.
Воспользуемся формулой косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$ и формулой приведения $\sin(x + \pi) = -\sin x$:
$1 - (1 - 2 \sin^2 x) + \sqrt{2} \sin x = \sqrt{2} + 2 \sin x$.
Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:
$2 \sin^2 x + \sqrt{2} \sin x - 2 \sin x - \sqrt{2} = 0$.
Проведем группировку слагаемых:
$2 \sin x (\sin x - 1) + \sqrt{2} (\sin x - 1) = 0$.
Вынесем общий множитель за скобки:
$(2 \sin x + \sqrt{2})(\sin x - 1) = 0$.
Отсюда получаем два возможных случая:
1) $\sin x = 1$, что дает решение $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2) $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, откуда следуют две серии корней:
$$\left[\begin{matrix} x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \\ x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \end{matrix}\right.$$

б) Найдем корни, которые попадают в заданный промежуток $\left[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}\right]$, используя единичную окружность.

На указанном отрезке получаем следующие значения:
$x_1 = -3\pi + \frac{\pi}{4} = -\frac{11\pi}{4}$;
$x_2 = -2\pi - \frac{\pi}{4} = -\frac{9\pi}{4}$;
$x_3 = -\frac{3\pi}{2}$.

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + 2\pi k$; $-\frac{\pi}{4} + 2\pi k$; $-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{11\pi}{4}; -\frac{9\pi}{4}; -\frac{3\pi}{2}$.

Источник: ФИПИ