Задание №19 — Системы с параметром

Решение:
Преобразуем первое уравнение системы: $y^{2} - xy + 5x - 4y - 5 = 0$.
Рассмотрим его как квадратное относительно $y$:
$y^{2} - (x + 4)y + 5x - 5 = 0$.
Вычислим дискриминант данного уравнения:
$D = (x + 4)^{2} - 4(5x - 5) = x^{2} + 8x + 16 - 20x + 20 = x^{2} - 12x + 36 = (x - 6)^{2}$.
Найдём корни уравнения через дискриминант:
$y = \frac{(x + 4) \pm (x - 6)}{2}$, откуда получаем две линейные зависимости: $y = x - 1$ и $y = 5$.
С учётом заданных ограничений, исходная система принимает вид:
$\left\{\begin{matrix} -3 \leq x < 7 \\ \left[ \begin{matrix} y = x - 1 \\ y = 5 \\ x = -3 \end{matrix} \right. \\ y = a - x \end{matrix}\right.$
Последнее уравнение $y = -x + a$ представляет собой семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом $-1$.
Для построения прямой (1) $y = x - 1$ воспользуемся контрольными точками:

Анализируя графическую интерпретацию, определим значения параметра $a$, при которых система имеет ровно два решения. Это происходит в промежутках $(l_{1}; l_{2}] \cup \{l_{3}\} \cup [l_{4}; l_{5})$.
Вычислим значение $a$ для каждого граничного положения прямой $y + x = a$:
1) Прямая $l_{1}$ проходит через вершину $(-3; -4)$, тогда $a = -3 + (-4) = -7$.
2) Прямая $l_{2}$ проходит через точку $(-3; 5)$, тогда $a = -3 + 5 = 2$.
3) Прямая $l_{3}$ проходит через точку пересечения линий $y = 5$ и $y = x - 1$, то есть через $(6; 5)$, тогда $a = 6 + 5 = 11$.
4) Прямая $l_{4}$ проходит через точку $(7; 5)$, тогда $a = 7 + 5 = 12$.
5) Прямая $l_{5}$ проходит через точку на границе области $x = 7$ для линии $y = x - 1$. При $x = 7$ получаем $y = 6$, следовательно, $a = 7 + 6 = 13$.

Ответ: $(-7; 2] \cup \{11\} \cup [12; 13)$

Источник: ФИПИ