Решение:
Рассмотрим уравнение: $2 \log _{9}^{2} x - 3 \log _{9} x + 1 = 0$.
Для начала определим область допустимых значений переменной: $x > 0$.
Введем новую переменную, пусть $\log _{9} x = t$. Тогда исходное уравнение примет вид квадратного: $2 t^{2} - 3 t + 1 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.
Вычислим корни для $t$:
$t = \frac{3 \pm 1}{4}$, откуда получаем $t_{1} = 1$ и $t_{2} = \frac{1}{2}$.
Вернемся к исходной переменной $x$:
1) $\log _{9} x = 1 \Rightarrow x = 9^1 = 9$;
2) $\log _{9} x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$.

б) Выполним отбор найденных корней на промежутке $\left[\sqrt{10}; \sqrt{99}\right]$.

Проверим каждое значение:
Число $x_1 = 9$ можно представить как $\sqrt{81}$. Так как $10 < 81 < 99$, то корень $9$ входит в заданный отрезок.
Число $x_2 = 3$ можно представить как $\sqrt{9}$. Так как $9 < 10$, данный корень не принадлежит указанному интервалу.
Следовательно, условию удовлетворяет только $x = 9$.

Ответ: а) 3; 9; б) 9

Источник: ФИПИ