Задание 14

Уравнения (тригонометрические, показательные, логарифмические) · 113 заданий

Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: x/(x + 2) + (x - 2)/(x - 1) - 2/(x² + x - 2) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 4; √(5)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: x/(x - 3) + (x + 3)/(x - 5) + 6/(x² - 8 x + 15) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(2); √(2)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: 2 ((x + 2)/(2 x - 1))² - (5 x + 10)/(2 x - 1) + 2 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(20); √(8)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (x - 2)/(x + 2) - (5 (x + 2))/(x - 2) + 6 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(6); √(6)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x + 5) (x - 3) (x + 3) · (x - 5) = 161. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 6].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x² + 6)² - (x² + 2)² = 6 (x² - 3 x + 2). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 2; 0].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: 36^x + 36 · 36^(- x) - 13 (6^x + 6 · 6^(- x)) + 42 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 2; 3].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (√(5 + 2 √(6)))^x + (√(5 - 2 √(6)))^x = 10. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 16; log₂₆ 700].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: log₂ x + log₃ x = log₂ x · log₃ x. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [√(5)/3; √(30)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₂ (|x - 1| + 2) = 3 - log₀,₅ (|x - 1| - 1). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 0,5; 2,2].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (x³ + 4 x - 4 x - 16) = log₃ (x + 4). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₀,₅ 8; log₀,₅ 1].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (3 x² - 4) = log₃ ((x (3 x² - 4))/3). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 3; log₅ 30].
Тригонометрич. ур-я

Задание №14 — Логарифмические уравнения

а)  Решите уравнение $2 \log _{9}^{2} x - 3 \log _{9} x + 1 = 0 .$

б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ \sqrt{10} ; \sqrt{99} \left]\right. .$

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
Рассмотрим уравнение: $2 \log _{9}^{2} x - 3 \log _{9} x + 1 = 0$ .
Для начала определим область допустимых значений переменной: $x > 0$ .
Введем новую переменную, пусть $\log _{9} x = t$ . Тогда исходное уравнение примет вид квадратного: $2 t^{2} - 3 t + 1 = 0$ .
Найдем дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$ .
Вычислим корни для $t$ :
$t = \frac{3 \pm 1}{4}$ , откуда получаем $t_{1} = 1$ и $t_{2} = \frac{1}{2}$ .
Вернемся к исходной переменной $x$ :
1) $\log _{9} x = 1 \Rightarrow x = 9^1 = 9$ ;
2) $\log _{9} x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$ .

б) Выполним отбор найденных корней на промежутке $\left[\sqrt{10}; \sqrt{99}\right]$ .

Проверим каждое значение:
Число $x_1 = 9$ можно представить как $\sqrt{81}$ . Так как $10 < 81 < 99$ , то корень $9$ входит в заданный отрезок.
Число $x_2 = 3$ можно представить как $\sqrt{9}$ . Так как $9 < 10$ , данный корень не принадлежит указанному интервалу.
Следовательно, условию удовлетворяет только $x = 9$ .

Ответ: а) 3; 9; б) 9

Источник: ФИПИ