Задание №20 — Числовые наборы на карточках/досках

Решение:
а) Для начала вычислим среднее арифметическое всех имеющихся тридцати чисел:
$$\frac{10 \cdot 5 + 10 \cdot 4 + 10 \cdot 3}{30} = \frac{120}{30} = 4.$$
Рассмотрим ситуацию, когда в первую группу попали только все «пятёрки», а во вторую — все остальные карточки (с числами 3 и 4).
В этом случае среднее значение в первой группе составит $A = \frac{10 \cdot 5}{10} = 5$, а во второй группе оно будет равно $B = \frac{10 \cdot 4 + 10 \cdot 3}{20} = \frac{70}{20} = 3{,}5$.
Найдём полусумму этих средних значений: $\frac{A + B}{2} = \frac{5 + 3{,}5}{2} = 4{,}25$.
Заметим, что $4{,}25 > 4$, следовательно, такое возможно.

б) Предположим, что в каждой группе находится ровно по 15 карточек. Обозначим через $S_{1}$ и $S_{2}$ суммы чисел в первой и второй группах соответственно. Тогда средние арифметические будут выражаться так:
$A = \frac{S_{1}}{15}$ и $B = \frac{S_{2}}{15}$.
Вычислим их полусумму:
$$\frac{A + B}{2} = \frac{\frac{S_{1}}{15} + \frac{S_{2}}{15}}{2} = \frac{S_{1} + S_{2}}{30}.$$
Полученное выражение в точности совпадает с формулой среднего арифметического всех 30 чисел набора. Таким образом, в случае равного количества чисел в группах искомая величина всегда равна среднему арифметическому всего набора.

в) Чтобы величина $\frac{A + B}{2}$ была максимальной, нужно максимально увеличить значения $A$ и $B$.
Если в первой группе количество троек и пятёрок совпадает, то $A = 4$, и при $B = 4$ полусумма также будет равна 4.
Чтобы получить значение больше 4, нужно перераспределить числа. Максимально возможное значение для одной из групп (пусть это будет $A$) равно 5 (если там только пятёрки). Чтобы при этом $B$ было как можно больше, во вторую группу нужно отдать как можно меньше «плохих» для среднего значения карточек.
Рассмотрим случай, когда в первой группе всего одна карточка — число 5. Тогда $A = 5$.
Во вторую группу попадут все остальные 29 карточек: десять «троек», десять «четвёрок» и девять «пятёрок».
Среднее арифметическое второй группы составит:
$B = \frac{10 \cdot 3 + 10 \cdot 4 + 9 \cdot 5}{29} = \frac{30 + 40 + 45}{29} = \frac{115}{29} = 3 \frac{28}{29}$.
Тогда полусумма средних будет:
$$\frac{A + B}{2} = \frac{5 + 3 \frac{28}{29}}{2} = \frac{8 \frac{28}{29}}{2} = 4 \frac{14}{29}.$$
Любое другое распределение, где в группе $A$ больше одной пятёрки или есть другие числа, приведет к уменьшению итогового результата.

Ответ: а) да (например, если в первой группе все числа 5, а во второй — все 3 и 4); в) $4 \frac{14}{29}$

Источник: ФИПИ