Задание №19 — Системы с параметром

Разбор задачи:
Для начала преобразуем первое уравнение системы, рассматривая его как квадратное относительно $y$:
$y^{2} - (x + 7)y + 4x + 12 = 0$
Вычислим дискриминант данного выражения:
$D = (x + 7)^{2} - 4(4x + 12) = x^{2} + 14x + 49 - 16x - 48 = x^{2} - 2x + 1 = (x - 1)^{2}$
Находим корни уравнения для $y$:
$y = \frac{x + 7 \pm (x - 1)}{2}$, откуда получаем две прямые: $y = x + 3$ и $y = 4$.
С учетом всех условий, исходная система принимает вид:
$\left\{\begin{matrix} -5 \leq x < 5 \\ \left[\begin{matrix} x = -5 \\ y = x + 3 \\ y = 4 \end{matrix}\right. \\ y = a - x \end{matrix}\right.$
Последнее уравнение представляет собой семейство прямых вида $y = -x + a$, которые параллельны друг другу и смещаются вдоль осей в зависимости от значения параметра $a$.
Рассмотрим функцию $y = x + 3$ на заданном промежутке:

Анализируя построенный график, определим значения $a$, при которых прямая $y = -x + a$ имеет ровно две точки пересечения с совокупностью линий. Это происходит в диапазоне $(l_{1}; l_{2}] \cup \{l_{3}\} \cup [l_{4}; l_{5})$.
Найдем значения параметра для граничных положений:
1) Прямая $l_{1}$ касается границы области в точке $(-5; -2)$, тогда $a = x + y = -5 + (-2) = -7$.
2) Прямая $l_{2}$ проходит через точку $(-5; 4)$, следовательно, $a = -5 + 4 = -1$.
3) Прямая $l_{3}$ пересекает точку встречи линий $y = 4$ и $y = x + 3$. Приравнивая их, находим $x = 1$, тогда $a = 1 + 4 = 5$.
4) Прямая $l_{4}$ проходит через правую границу линии $y = 4$ в точке $(5; 4)$, откуда $a = 5 + 4 = 9$.
5) Прямая $l_{5}$ проходит через выколотую точку $(5; 8)$ на линии $y = x + 3$, что дает $a = 5 + 8 = 13$.

Ответ: $(-7; -1] \cup \{5\} \cup [9; 13)$

Источник: ФИПИ