Решение:
Дано уравнение: $6 \log _{8}^{2} x - 5 \log _{8} x + 1 = 0$.
Начнем с определения области допустимых значений: аргумент логарифма должен быть положительным, то есть $x > 0$.
Для решения воспользуемся методом замены переменной. Пусть $\log _{8} x = t$. Тогда исходное уравнение принимает вид квадратного:
$$6 t^{2} - 5 t + 1 = 0$$ Вычислим дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$.
Находим корни для $t$:
$t = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{5 \pm 1}{12}$
Отсюда получаем два значения: $t_{1} = \frac{1}{2}$ и $t_{2} = \frac{1}{3}$.
Выполним обратную подстановку:
1) $\log _{8} x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 8^{\frac{1}{2}} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$;
2) $\log _{8} x = \frac{1}{3} \Rightarrow x = 8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$.
Оба найденных числа удовлетворяют условию $x > 0$.

б) Выполним отбор полученных корней на промежутке $\left[2 ; 2{,}5\right]$.

Число $x = 2$ очевидно является левой границей заданного отрезка, следовательно, оно нам подходит.
Оценим корень $x = 2 \sqrt{2}$. Представим границы отрезка и сам корень в виде квадратных корней:
Левая граница: $2 = \sqrt{4}$;
Правая граница: $2{,}5 = \frac{5}{2} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \sqrt{6{,}25}$;
Корень: $2 \sqrt{2} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{8}$.
Так как $\sqrt{8} > \sqrt{6{,}25}$, значение $x = 2 \sqrt{2}$ не попадает в указанный интервал.

Ответ: а) $2; 2 \sqrt{2}$; б) 2

Источник: ФИПИ