Задание 14

Уравнения (тригонометрические, показательные, логарифмические) · 113 заданий

Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: x/(x + 2) + (x - 2)/(x - 1) - 2/(x² + x - 2) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 4; √(5)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: x/(x - 3) + (x + 3)/(x - 5) + 6/(x² - 8 x + 15) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(2); √(2)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: 2 ((x + 2)/(2 x - 1))² - (5 x + 10)/(2 x - 1) + 2 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(20); √(8)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (x - 2)/(x + 2) - (5 (x + 2))/(x - 2) + 6 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(6); √(6)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x + 5) (x - 3) (x + 3) · (x - 5) = 161. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 6].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x² + 6)² - (x² + 2)² = 6 (x² - 3 x + 2). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 2; 0].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: 36^x + 36 · 36^(- x) - 13 (6^x + 6 · 6^(- x)) + 42 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 2; 3].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (√(5 + 2 √(6)))^x + (√(5 - 2 √(6)))^x = 10. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 16; log₂₆ 700].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: log₂ x + log₃ x = log₂ x · log₃ x. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [√(5)/3; √(30)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₂ (|x - 1| + 2) = 3 - log₀,₅ (|x - 1| - 1). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 0,5; 2,2].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (x³ + 4 x - 4 x - 16) = log₃ (x + 4). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₀,₅ 8; log₀,₅ 1].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (3 x² - 4) = log₃ ((x (3 x² - 4))/3). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 3; log₅ 30].
Тригонометрич. ур-я

Задание №14 — Логарифмические уравнения

а)  Решите уравнение $6 \log _{8}^{2} x - 5 \log _{8} x + 1 = 0 .$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ 2 ; 2{,}5 \left]\right. .$

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
Дано уравнение: $6 \log _{8}^{2} x - 5 \log _{8} x + 1 = 0$ .
Начнем с определения области допустимых значений: аргумент логарифма должен быть положительным, то есть $x > 0$ .
Для решения воспользуемся методом замены переменной. Пусть $\log _{8} x = t$ . Тогда исходное уравнение принимает вид квадратного:
$6 t^{2} - 5 t + 1 = 0$ Вычислим дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$ .
Находим корни для $t$ :
$t = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{5 \pm 1}{12}$
Отсюда получаем два значения: $t_{1} = \frac{1}{2}$ и $t_{2} = \frac{1}{3}$ .
Выполним обратную подстановку:
1) $\log _{8} x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 8^{\frac{1}{2}} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$ ;
2) $\log _{8} x = \frac{1}{3} \Rightarrow x = 8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$ .
Оба найденных числа удовлетворяют условию $x > 0$ .

б) Выполним отбор полученных корней на промежутке $\left[2 ; 2{,}5\right]$ .

Число $x = 2$ очевидно является левой границей заданного отрезка, следовательно, оно нам подходит.
Оценим корень $x = 2 \sqrt{2}$ . Представим границы отрезка и сам корень в виде квадратных корней:
Левая граница: $2 = \sqrt{4}$ ;
Правая граница: $2{,}5 = \frac{5}{2} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \sqrt{6{,}25}$ ;
Корень: $2 \sqrt{2} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{8}$ .
Так как $\sqrt{8} > \sqrt{6{,}25}$ , значение $x = 2 \sqrt{2}$ не попадает в указанный интервал.

Ответ: а) $2; 2 \sqrt{2}$ ; б) 2

Источник: ФИПИ