Задание №18 — Уравнения с параметром

Решение:
Для начала введём новую переменную $t = |x - 6| - |x - a|$. Тогда исходное уравнение примет вид квадратного относительно $t$:
$$t^{2} - 3at + 2a^{2} + a - 1 = 0$$ Вычислим дискриминант полученного уравнения:
$D = (3a)^{2} - 4(2a^{2} + a - 1) = 9a^{2} - 8a^{2} - 4a + 4 = a^{2} - 4a + 4 = (a - 2)^{2}$.
Найдём корни уравнения для $t$:
$t = \frac{3a \pm (a - 2)}{2}$, откуда получаем совокупность:
$\left[\begin{matrix} t_1 = 2a - 1 \\ t_2 = a + 1 \end{matrix}\right.$
Выполним обратную подстановку, перейдя к уравнениям с модулями:
$|x - 6| - |x - a| = 2a - 1$ или $|x - 6| - |x - a| = a + 1$.
Раскроем модули, учитывая критические точки $x = 6$ и $x = a$. Рассмотрим возможные интервалы:
1) Если $x \geq 6$ и $x \geq a$, то выражения под модулем раскрываются с плюсом:
$\left[\begin{matrix} (x - 6) - (x - a) = 2a - 1 \\ (x - 6) - (x - a) = a + 1 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left[\begin{matrix} a - 6 = 2a - 1 \\ a - 6 = a + 1 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left[\begin{matrix} a = -5 \\ \text{нет решений} \end{matrix}\right.$
2) Если $x \leq 6$ и $x \leq a$, то оба модуля раскрываются с противоположным знаком:
$\left[\begin{matrix} -(x - 6) + (x - a) = 2a - 1 \\ -(x - 6) + (x - a) = a + 1 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left[\begin{matrix} 6 - a = 2a - 1 \\ 6 - a = a + 1 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left[\begin{matrix} a = \frac{7}{3} \\ a = \frac{5}{2} \end{matrix}\right.$
3) В случае $a \leq x \leq 6$:
$\left[\begin{matrix} -(x - 6) - (x - a) = 2a - 1 \\ -(x - 6) - (x - a) = a + 1 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left[\begin{matrix} -2x + 6 + a = 2a - 1 \\ -2x + 6 + a = a + 1 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left[\begin{matrix} a = -2x + 7 \\ x = 2{,}5 \end{matrix}\right.$
4) В случае $6 \leq x \leq a$:
$\left[\begin{matrix} (x - 6) + (x - a) = 2a - 1 \\ (x - 6) + (x - a) = a + 1 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left[\begin{matrix} 2x - 6 - a = 2a - 1 \\ 2x - 6 - a = a + 1 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left[\begin{matrix} a = \frac{2}{3}x - \frac{5}{3} \\ a = x - 3{,}5 \end{matrix}\right.$

Определим координаты точки $A$, которая является пересечением прямых $x = 2{,}5$ и $a = -2x + 7$.
Подставив значение $x$, получим: $a = -2 \cdot 2{,}5 + 7 = 2$. Таким образом, $A(2{,}5; 2)$.
Анализируя график, видим, что уравнение имеет ровно два различных корня при условии $-5 < a < 2$ или $2 < a < \frac{7}{3}$.

Ответ: $(-5; 2) \cup (2; \frac{7}{3})$

Источник: ФИПИ