Решение:
а) Обозначим точку пересечения прямых $AM$ и $CN$ как $L$.

Пусть величина угла $A$ равна $2\alpha$. Поскольку треугольник $ABC$ является прямоугольным, угол $B$ будет равен $90^\circ - 2\alpha$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHB$, где $CH$ — высота. В нём угол $HCB$ вычисляется как $90^\circ - \angle B$.
Следовательно, $\angle HCB = 90^\circ - (90^\circ - 2\alpha) = 2\alpha$.
Заметим, что $\angle HCB = \angle A = 2\alpha$. Так как отрезок $CN$ является биссектрисой угла $HCB$, получаем $\angle HCN = \angle NCB = \alpha$.
Тогда для треугольника $ACL$ имеем: $\angle ACL = \angle ACB - \angle NCB = 90^\circ - \alpha$, а $\angle CAL = \alpha$ (так как $AM$ — биссектриса угла $A$).
Сумма углов треугольника дает нам $\angle ALC = 180^\circ - \angle ACL - \angle CAL = 180^\circ - (90^\circ - \alpha) - \alpha = 90^\circ$.
Это означает, что прямые $AM$ и $CN$ перпендикулярны, то есть $AM \perp CN$. Что и требовалось доказать.

б) Из доказанного в пункте (а) следует, что в треугольнике $ANC$ отрезок $AL$ одновременно является высотой и биссектрисой.
Это означает, что $\triangle ANC$ равнобедренный, откуда $AC = AN$ и точка $L$ — середина $CN$ ($CL = LN$).
Так как $AL$ является серединным перпендикуляром к отрезку $CN$, любая точка на $AL$ равноудалена от концов отрезка, значит, $CM = MN$. Аналогично, в треугольнике $CMK$ отрезок $CL$ служит и высотой, и биссектрисой, поэтому $CM = CK$.
Воспользуемся свойством биссектрисы $CK$ для треугольника $ABC$:
$$\frac{CK}{KB} = \frac{AC}{AB}$$
По условию $\sin \angle ABC = \frac{AC}{AB} = \frac{1}{3}$.
Следовательно, отношение отрезков $\frac{CK}{KB} = \frac{1}{3}$. Учитывая, что длина катета $CB = 20$, получаем:
$CK = \frac{1}{1+3} \cdot 20 = 5$ и $KB = 15$.
Таким образом, искомая длина $MN = CK = 5$.

Ответ: б) 5

Источник: ФИПИ