Задание №13 — Тригонометрические уравнения. Разложение на множители

Решение:
а) Преобразуем исходное уравнение $\cos 2x + 0{,}5 = \cos^2 x$, используя формулу косинуса двойного угла:
$2\cos^2 x - 1 + 0{,}5 - \cos^2 x = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$\cos^2 x - 0{,}5 = 0$
$\cos^2 x = \frac{1}{2}$
Отсюда получаем два возможных значения для косинуса:
1) $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, что дает корни $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$;
2) $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, откуда $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Найдем корни, которые попадают в заданный промежуток $\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$. Для этого воспользуемся методом отбора на тригонометрическом круге.

Согласно чертежу, искомые точки вычисляются следующим образом:
$x_{1} = -2\pi + \frac{\pi}{4} = -\frac{7\pi}{4}$;
$x_{2} = -\pi - \frac{\pi}{4} = -\frac{5\pi}{4}$;
$x_{3} = -\pi + \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4}$.

Ответ: а) $\pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{7\pi}{4}; -\frac{5\pi}{4}; -\frac{3\pi}{4}$.

Источник: ФИПИ