Задание №16 — Показательные неравенства

Решение:
Рассмотрим исходное неравенство: $$\frac{27^{x + 1} - 3 \cdot 9^{x + 1} + 3^{x + 2} - 1}{50 x^{2} + 50 x + 12{,}5} \geq 0$$ Найдём область допустимых значений, исключив точки, в которых знаменатель обращается в ноль:
$50 x^{2} + 50 x + 12{,}5 \neq 0$
Для удобства умножим выражение на $2$:
$100 x^{2} + 100 x + 25 \neq 0$
Заметим формулу квадрата суммы:
$\left(10 x + 5\right)^{2} \neq 0$
Откуда получаем ограничение: $x \neq - 0{,}5$.
Так как квадрат любого ненулевого числа положителен, знаменатель $(10x+5)^2$ всегда больше нуля при $x \neq -0{,}5$. Следовательно, знак дроби зависит только от числителя:
$27^{x + 1} - 3 \cdot 9^{x + 1} + 3^{x + 2} - 1 \geq 0$
Преобразуем степени к основанию $3$:
$27 \cdot (3^3)^x - 3 \cdot 9 \cdot (3^2)^x + 9 \cdot 3^x - 1 \geq 0$
$27 \cdot 3^{3x} - 27 \cdot 3^{2x} + 9 \cdot 3^x - 1 \geq 0$
Введем новую переменную $t = 3^x$, где $t > 0$. Получим кубическое неравенство:
$27 t^{3} - 27 t^{2} + 9 t - 1 \geq 0$
Свернем выражение по формуле куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:
$\left(3 t - 1\right)^{3} \geq 0$
Данное условие равносильно $3t - 1 \geq 0$. Выполним обратную подстановку:
$3 \cdot 3^{x} - 1 \geq 0$
$3^{x+1} \geq 3^0$
$x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1$.
Объединим полученное решение с условием $x \neq - \frac{1}{2}$ на числовой прямой:

Ответ: $[ - 1 ; - 0{,}5 ) \cup ( - 0{,}5 ; + \infty)$

Источник: ФИПИ