Решение:
а) Для начала упростим левую часть уравнения, используя периодичность косинуса: $\cos(2\pi + 2x) = \cos 2x$. Уравнение примет вид:
$2 \cos 2x - 2 + \sqrt{8} \sin x = - \sqrt{6} + \sqrt{12} \sin x$
Перенесем все слагаемые в левую часть и воспользуемся формулой двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$:
$2(1 - 2\sin^2 x) - 2 + 2\sqrt{2} \sin x + \sqrt{6} - 2\sqrt{3} \sin x = 0$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$2 - 4\sin^2 x - 2 + 2\sqrt{2} \sin x + \sqrt{6} - 2\sqrt{3} \sin x = 0$
$-4\sin^2 x + 2\sqrt{2} \sin x - 2\sqrt{3} \sin x + \sqrt{6} = 0$
Умножим на $-1$ и сгруппируем члены для разложения на множители:
$(4\sin^2 x - 2\sqrt{2} \sin x) + (2\sqrt{3} \sin x - \sqrt{6}) = 0$
$2\sin x (2\sin x - \sqrt{2}) + \sqrt{3}(2\sin x - \sqrt{2}) = 0$
$(2\sin x + \sqrt{3})(2\sin x - \sqrt{2}) = 0$
Получаем две возможности:
1) $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, откуда находим серии корней:
$\left[ \begin{matrix} x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \\ x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \end{matrix} \right.$
2) $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, что дает следующие решения:
$\left[ \begin{matrix} x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \end{matrix} \right.$

б) Найдем корни, которые попадают в заданный промежуток $\left[0; \frac{3\pi}{2}\right]$, воспользовавшись единичной окружностью.

Из первой четверти подходит значение: $x_1 = \frac{\pi}{4}$.
Во второй четверти находим: $x_2 = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
В третьей четверти отрезку принадлежит корень: $x_3 = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$.
Точка $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$ уже не входит в рассматриваемый интервал.

Ответ: а) $-\frac{\pi}{3} + 2\pi k$; $-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$; $\frac{\pi}{4} + 2\pi k$; $\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}; \frac{4\pi}{3}$

Источник: ФИПИ