Задание №12 — Комбинированные задачи

Решение:
Для начала определим коэффициенты функций, используя координаты отмеченных на графике точек. Парабола $f(x) = ax^2 + bx + c$ проходит через точки $(1; 1)$, $(0; -4)$ и $(-2; -2)$. Прямая $g(x) = kx + d$ проходит через точки $(-1; 2)$ и $(-2; -2)$.

Составим и решим систему уравнений для квадратичной функции:
$$\begin{cases} a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = 1 \\ a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = -4 \\ a \cdot (-2)^2 + b \cdot (-2) + c = -2 \end{cases}$$
Из второго уравнения сразу получаем $c = -4$. Подставим это значение в остальные уравнения:
$$\begin{cases} a + b = 5 \\ 4a - 2b = 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = 5 - b \\ 2(5 - b) - b = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = 2 \\ b = 3 \end{cases}$$
Таким образом, уравнение параболы имеет вид: $f(x) = 2x^2 + 3x - 4$.

Теперь найдем коэффициенты линейной функции $g(x) = kx + d$:
$$\begin{cases} -k + d = 2 \\ -2k + d = -2 \end{cases}$$
Вычитая из первого уравнения второе, находим: $k = 4$. Тогда $d = 2 + 4 = 6$.
Следовательно, уравнение прямой: $g(x) = 4x + 6$.

Чтобы найти абсциссы точек пересечения графиков, приравняем выражения для функций:
$2x^2 + 3x - 4 = 4x + 6$
$2x^2 - x - 10 = 0$
Вычислим дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 1 + 80 = 81$.
Находим корни квадратного уравнения:
$x = \frac{1 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 9}{4}$
$x_1 = \frac{1 - 9}{4} = -2$ (это абсцисса уже известной нам точки $A$);
$x_2 = \frac{1 + 9}{4} = 2,5$ — искомая абсцисса точки $B$.

Ответ: 2,5

Источник: ФИПИ