Решение:
Вспомним определение: среднее арифметическое набора из $n$ чисел равно их сумме $S$, делённой на количество $n$. Отсюда сумма $S = n \cdot M$, где $M$ — среднее арифметическое.
Пусть в наборе есть произвольные числа. Выберем любые три числа $a, b, c$ и добавим к ним четвёртое число $x_1$. По условию, их среднее арифметическое — целое число $M_1$. Тогда:
$a + b + c + x_1 = 4 \cdot M_1$
Если же вместо $x_1$ мы возьмём другое число из набора $x_2$, то получим:
$a + b + c + x_2 = 4 \cdot M_2$, где $M_2$ — также целое число.
Вычитая одно равенство из другого, находим: $x_1 - x_2 = 4(M_1 - M_2)$.
Это означает, что разность любых двух элементов набора обязана быть кратна 4. Проведя аналогичные рассуждения для групп из 7 чисел, получим, что разность любых двух чисел набора должна делиться и на 7. Следовательно, разность любых двух чисел в наборе делится на $НОК(4; 7) = 28$.

а) Проверим, могут ли в наборе присутствовать числа 1414 и 567. Найдём их разность: $1414 - 567 = 847$. Число 847 не является кратным 4 (так как 844 делится на 4, а 847 — нет). Значит, такая ситуация невозможна.

б) Рассмотрим число 567. При делении на 4 оно даёт остаток 3 ($567 = 141 \cdot 4 + 3$). Поскольку разность любых чисел набора кратна 4, все числа в наборе должны иметь вид $4k + 3$. Однако известно, что квадраты целых чисел при делении на 4 могут давать только остатки 0 или 1. Таким образом, число в наборе не может быть квадратом целого числа. Ответ: нет.

в) Пусть в наборе $n$ различных натуральных чисел. Так как разность любых двух из них делится на 28, их можно представить как $a_1, a_1 + 28k_1, a_1 + 28k_2, \dots$. Минимальная разность между самым большим и самым маленьким числом при наличии $n$ элементов составит $28(n-1)$.
По условию, среднее арифметическое всех $n$ чисел должно быть целым, то есть их сумма $S$ должна делиться на $n$.
Заметим, что разность любых двух чисел делится на 28. Это значит, что все числа имеют одинаковый остаток при делении на 28. Пусть это числа $r, r+28d_1, r+28d_2, \dots, r+28d_{n-1}$. Их сумма $S = nr + 28 \sum d_i$. Чтобы $S$ делилось на $n$, необходимо, чтобы $28 \sum d_i$ делилось на $n$.
В простейшем случае, если мы возьмём числа $r, r+28, r+56, \dots, r+28(n-1)$, их сумма будет $S = nr + 28 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = nr + 14n(n-1)$. Такая сумма всегда делится на $n$.
Однако условие должно выполняться для любых 4 и 7 чисел. Это накладывает условие на $n$: чтобы можно было выбрать такие группы, $n$ должно быть не меньше 7.
Если $n=7$, то сумма любых 4 чисел должна делиться на 4. Пусть числа $x_i = 28k_i + r$. Сумма четырёх: $4r + 28(k_1+k_2+k_3+k_4)$. Она всегда делится на 4.
Сумма семи: $7r + 28(k_1+\dots+k_7)$. Она всегда делится на 7.
Чтобы все числа были различными, минимальное $n$ должно позволять выполнять условия задачи. Проверим $n=8$. Для $n=8$ условие кратности разности 28 сохраняется.
Пример для $n=8$: возьмём числа с шагом 28, например: $1, 29, 57, 85, 113, 141, 169, 197$. Любые 4 числа дадут сумму, кратную 4, и любые 7 — кратную 7.
Минимальное $n$, удовлетворяющее условию возможности выбора групп по 4 и по 7, — это 8 (так как в условии сказано "любых 4" и "любых 7", что подразумевает наличие хотя бы 7+1 элементов для нетривиальности, хотя формально достаточно $n \ge 7$. Но при $n=7$ "любые 7" — это только весь набор). Перебор показывает, что наименьшее подходящее $n=8$.

Ответ: а) нет б) нет в) 8

Источник: ФИПИ