Решение:
Для упрощения задачи введем замену переменной. Пусть $t = 4x - 3|x + a^2| + |x + 1| + 3a^2$. Тогда исходное уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $t$:
$$t^2 + (a + 1)t + 4 = 0$$
Теперь детально исследуем функцию $t(x) = 4x - 3|x + a^2| + |x + 1| + 3a^2$.
Определим критические точки, в которых подмодульные выражения обращаются в ноль:
$x + a^2 = 0 \Rightarrow x = -a^2$
$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$
Раскроем модули на различных промежутках числовой прямой:

1) При $x \leq -a^2$:
$t = 4x + 3(x + a^2) - (x + 1) + 3a^2 = 4x + 3x + 3a^2 - x - 1 + 3a^2 = 6x + 6a^2 - 1$
2) При $-a^2 < x < -1$:
$t = 4x - 3(x + a^2) - (x + 1) + 3a^2 = 4x - 3x - 3a^2 - x - 1 + 3a^2 = -1$
3) При $x \geq -1$:
$t = 4x - 3(x + a^2) + (x + 1) + 3a^2 = 4x - 3x - 3a^2 + x + 1 + 3a^2 = 2x + 1$

Заметим, что если значение $t$ равно $-1$, то уравнение относительно $x$ будет иметь бесконечное множество корней (целый отрезок).
Если же $t \neq -1$, то каждому значению $t$ соответствует ровно один корень $x$.
Следовательно, для выполнения условия задачи нам необходимо, чтобы квадратное уравнение $t^2 + (a + 1)t + 4 = 0$ имело два различных действительных корня, ни один из которых не равен $-1$. Это гарантирует наличие ровно двух решений исходного уравнения.
Сформулируем условия через дискриминант и подстановку значения $t = -1$:

$$\begin{cases} D > 0 \\ (-1)^2 + (a + 1)(-1) + 4 \neq 0 \end{cases}$$
Решим полученную систему:
$$\begin{cases} (a + 1)^2 - 4 \cdot 4 > 0 \\ 1 - a - 1 + 4 \neq 0 \end{cases}$$
$$\begin{cases} (a + 1 - 4)(a + 1 + 4) > 0 \\ -a + 4 \neq 0 \end{cases}$$
$$\begin{cases} (a - 3)(a + 5) > 0 \\ a \neq 4 \end{cases}$$
Решением неравенства является объединение интервалов $(-\infty; -5) \cup (3; +\infty)$. Исключая точку $a = 4$, получаем итоговый результат.

Ответ: $(-\infty; -5) \cup (3; 4) \cup (4; +\infty)$

Источник: ФИПИ