Задание №18 — Многоугольники и их свойства

Решение:

а) Рассмотрим треугольники $QMA$ и $AMH$. Поскольку $AM$ является биссектрисой, угол $\angle QAM$ равен углу $\angle MAH$. Из равенства этих треугольников вытекает, что $QM = MH$ и $QA = AH$.
Воспользуемся свойством биссектрисы в треугольнике $ACH$:
$$\frac{AH}{HM} = \frac{AC}{CM}$$
Учитывая, что треугольник $ACH$ прямоугольный и $\angle ACH = 30^{\circ}$, катет $AH$ равен половине гипотенузы $AC$, то есть $AH = \frac{1}{2} AC$.
Отсюда следует соотношение $\frac{HM}{CM} = \frac{1}{2}$.
Заметим, что так как $AH = AQ$, то $AQ = \frac{1}{2} AC$. Это означает, что точка $Q$ делит отрезок $AC$ пополам, то есть $AQ = QC$. Тогда прямоугольные треугольники $CQM$ и $AQM$ равны по двум катетам.
Из их равенства получаем $CM = AM$. Таким образом, в треугольнике $ABC$ отрезок $AM$ является медианой, длина которой равна половине стороны, к которой она проведена ($AM = CM = MB$). Это свойство характерно для прямоугольного треугольника, следовательно, $\angle A = 90^{\circ}$, что и требовалось доказать.

б) Площадь треугольника $CMF$ можно вычислить по формуле $S_{CMF} = \frac{1}{2} MF \cdot CQ$, где $CQ$ выступает в роли высоты, так как $CQ \perp QF$.
В прямоугольном треугольнике $ABC$ против угла в $30^{\circ}$ лежит катет $AB = 8$, значит, гипотенуза $CB = 16$.
Тогда медиана $AM = CM = MB = 8$.
Из ранее найденного соотношения $HM = \frac{1}{2} CM = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$. Также $QM = HM = 4$.
Применим теорему Пифагора для треугольника $QCM$:
$$CQ^{2} = CM^{2} - QM^{2} = 8^2 - 4^2 = 64 - 16 = 48$$
Откуда $CQ = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$.
Треугольники $QCM$ и $MHF$ равны (по катету $MH = QM$ и острому углу $\angle MFH = \angle QCM$).
Следовательно, гипотенузы равны: $MF = CM = 8$.
Вычисляем искомую площадь:
$$S_{CMF} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3}.$$

Ответ: б) $16 \sqrt{3}$

Источник: ФИПИ