Задание №16 — Показательные неравенства

Решение:
Рассмотрим исходное неравенство: $$\frac{27^{x} - 9^{x + 1} + 3^{x + 3} - 27}{50 x^{2} - 110 x + 60{,}5} \geq 0$$ Начнем с нахождения области допустимых значений, исключив точки, в которых знаменатель обращается в нуль:
$50 x^{2} - 110 x + 60{,}5 \neq 0$
Для удобства умножим выражение на $2$:
$100 x^{2} - 220 x + 121 \neq 0$
Заметим здесь формулу квадрата разности:
$(10x - 11)^{2} \neq 0$
Откуда получаем ограничение: $x \neq 1{,}1$ (или $x \neq \frac{11}{10}$).

Поскольку знаменатель $(10x - 11)^{2}$ всегда положителен при $x \neq 1{,}1$, знак всей дроби определяется знаком числителя. Перейдем к решению неравенства для числителя:
$27^{x} - 9^{x + 1} + 3^{x + 3} - 27 \geq 0$
Представим все степени через основание $3$:
$3^{3x} - 9 \cdot 3^{2x} + 27 \cdot 3^{x} - 27 \geq 0$
Введем новую переменную $t = 3^{x}$. Тогда выражение примет вид:
$t^{3} - 9t^{2} + 27t - 27 \geq 0$
Данное выражение является кубом разности $(t - 3)^{3}$. Получаем:
$(t - 3)^{3} \geq 0 \Rightarrow t \geq 3$
Выполним обратную замену:
$3^{x} \geq 3^{1}$
Так как основание степени $3 > 1$, то функция возрастает, и неравенство равносильно:
$x \geq 1$
Отобразим полученное решение на координатной прямой:

Теперь исключим из найденного промежутка точку $x = 1{,}1$, в которой знаменатель не определен:

Ответ: $[1; 1{,}1) \cup (1{,}1; +\infty)$

Источник: ФИПИ