Задание №13 — Тригонометрические уравнения. Разложение на множители

Решение:
а) Исходное уравнение: $1 - \cos 2x + \sqrt{3} \sin (x + \pi) = \sqrt{3} - 2 \sin x$.
Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$ и формулу приведения $\sin (x + \pi) = -\sin x$:
$1 - (1 - 2 \sin^2 x) - \sqrt{3} \sin x - \sqrt{3} + 2 \sin x = 0$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$2 \sin^2 x - \sqrt{3} \sin x + 2 \sin x - \sqrt{3} = 0$
Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:
$2 \sin x (\sin x + 1) - \sqrt{3} (\sin x + 1) = 0$
$(\sin x + 1)(2 \sin x - \sqrt{3}) = 0$
Отсюда получаем два возможных случая:
1) $\sin x = -1$, что дает решение $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$;
2) $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, откуда следуют две серии корней:
$\left[\begin{matrix} x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \end{matrix}\right.$

б) Найдем корни, которые попадают в заданный промежуток $\left[\pi; \frac{5\pi}{2}\right]$, используя единичную окружность.

На указанном отрезке лежат следующие значения:
$x_1 = \frac{3\pi}{2}$ (соответствует точке $-\frac{\pi}{2}$);
$x_2 = 2\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{3}$ (соответствует точке $\frac{\pi}{3}$).
Точка $\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$ в данный интервал не попадает.

Ответ: а) $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k$; $\frac{\pi}{3} + 2\pi k$; $\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{3\pi}{2}$; $\frac{7\pi}{3}$

Источник: ФИПИ