Решение:
Вспомним определение: среднее арифметическое набора чисел равно их сумме $S$, делённой на их количество $n$. Отсюда сумма $S = n \cdot M$, где $M$ — среднее арифметическое.
Пусть в наборе есть произвольные числа. Возьмём любые три фиксированных числа $a, b, c$ и добавим к ним четвёртое число $x_1$. По условию, их среднее арифметическое — целое число $M_1$. Тогда:
$a + b + c + x_1 = 4 \cdot M_1$
Если же вместо $x_1$ взять другое число из набора $x_2$, то для новой четвёрки среднее арифметическое также будет целым ($M_2$):
$a + b + c + x_2 = 4 \cdot M_2$
Вычитая одно равенство из другого, получим: $x_1 - x_2 = 4(M_1 - M_2)$.
Это означает, что разность любых двух чисел в наборе обязана делиться на 4. Аналогичные рассуждения для групп из 7 чисел показывают, что разность любых двух элементов набора должна делиться и на 7. Следовательно, разность любых двух чисел набора кратна $\text{НОК}(4, 7) = 28$.

а) Проверим числа 1417 и 563. Найдём их разность: $1417 - 563 = 854$.
Число 854 не делится на 4 (так как 54 не кратно 4). Значит, такая ситуация невозможна.

б) Рассмотрим число 563. При делении на 4 оно даёт остаток 3 ($563 = 140 \cdot 4 + 3$). Поскольку разность любых чисел набора кратна 4, все числа в наборе должны иметь одинаковый остаток при делении на 4. То есть каждое число имеет вид $4k + 3$.
Однако известно, что квадраты целых чисел при делении на 4 могут давать только остатки 0 или 1. Возникло противоречие, следовательно, в наборе не может быть квадратов целых чисел.

в) Пусть в наборе $n$ различных натуральных чисел. Так как разность любых двух из них делится на 28, их можно представить в виде арифметической прогрессии с разностью $d \ge 28$. Чтобы минимизировать сумму, возьмём $d = 28$. Тогда числа имеют вид: $a, a+28, a+56, \dots, a+28(n-1)$.
Их сумма $S = \frac{2a + 28(n-1)}{2} \cdot n = na + 14n(n-1)$.
По условию, среднее арифметическое всех $n$ чисел, то есть $\frac{S}{n} = a + 14(n-1)$, должно быть квадратом некоторого целого числа. Также по условию в наборе есть квадрат, пусть это будет само число $a$.
Тогда $a + 14(n-1) = k^2$. Поскольку $a$ — тоже квадрат, обозначим $a = m^2$.
Получаем $k^2 - m^2 = 14(n-1)$, или $(k-m)(k+m) = 14(n-1)$. Отсюда следует, что $14(n-1)$ должно делиться на 28 (так как разность любых двух чисел, включая квадрат и среднее, кратна 28). Значит, $n-1$ должно быть четным, а $n$ — нечётным.
Проверим значения $n$:
Если $n = 8$, то $n^2 - 1 = 63$, не делится на 28.
Если $n = 6$, то $n^2 - 1 = 35$, не делится на 28.
Если $n = 13$, то разность между средним арифметическим и числом в наборе должна быть кратна 28. Для $n=13$ это условие выполняется: $13^2 - 1 = 168$, что делится на 28 ($168 = 28 \cdot 6$).
Пример для $n = 13$: набор чисел с шагом 28, начинающийся с 1: $1, 29, 57, 85, 113, 141, 169, 197, 225, 253, 281, 309, 337$. Здесь есть квадраты (1, 169), а среднее арифметическое равно $1 + 14 \cdot 12 = 169$, что также является квадратом.

Ответ: а) нет б) нет в) 13

Источник: ФИПИ