Решение:
Для упрощения выражения введем замену переменной. Пусть $t = 5x + |x - a^2| - 4|x + 1| - a^2$. Тогда исходное уравнение примет вид квадратного относительно $t$:
$$t^2 + (a + 2)t + 1 = 0$$
Теперь детально изучим функцию $t(x) = 5x + |x - a^2| - 4|x + 1| - a^2$.
Критическими точками для раскрытия модулей являются:
$x = a^2$ и $x = -1$.
Рассмотрим поведение функции на различных промежутках (учитывая, что $a^2 \geq 0$, то есть $a^2 \geq -1$):

1) При $x \leq -1$:
$t = 5x - (x - a^2) + 4(x + 1) - a^2 = 5x - x + a^2 + 4x + 4 - a^2 = 8x + 4$.
2) При $-1 < x < a^2$:
$t = 5x - (x - a^2) - 4(x + 1) - a^2 = 5x - x + a^2 - 4x - 4 - a^2 = -4$.
3) При $x \geq a^2$:
$t = 5x + (x - a^2) - 4(x + 1) - a^2 = 5x + x - a^2 - 4x - 4 - a^2 = 2x - 2a^2 - 4$.

Заметим, что если значение $t$ равно $-4$, то уравнение $t(x) = -4$ выполняется для любого $x$ из интервала $(-1; a^2)$, что дает бесконечное множество корней.
Если же $t \neq -4$, то каждому значению $t$ соответствует ровно один корень $x$.
Следовательно, для того чтобы исходная задача имела ровно два решения, необходимо, чтобы квадратное уравнение относительно $t$ имело два различных действительных корня, ни один из которых не равен $-4$.
Это условие записывается системой:

$$\begin{cases} D > 0 \\ (-4)^2 + (a + 2)(-4) + 1 \neq 0 \end{cases}$$
Решим полученную систему:
$$\begin{cases} (a + 2)^2 - 4 \cdot 1 > 0 \\ 16 - 4a - 8 + 1 \neq 0 \end{cases}$$
$$\begin{cases} (a + 2 - 2)(a + 2 + 2) > 0 \\ 9 - 4a \neq 0 \end{cases}$$
$$\begin{cases} a(a + 4) > 0 \\ a \neq \frac{9}{4} \end{cases}$$
Из первого неравенства получаем $a \in (-\infty; -4) \cup (0; +\infty)$. Исключая точку $\frac{9}{4}$, находим искомые значения параметра.

Ответ: $(-\infty; -4) \cup (0; \frac{9}{4}) \cup (\frac{9}{4}; +\infty)$

Источник: ФИПИ