Решение:

а) Рассмотрим треугольники $AQM$ и $AHM$. Они равны по общей гипотенузе $AM$ и острому углу ($AM$ — биссектриса, значит $\angle QAM = \angle MAH$; углы $\angle AQM$ и $\angle AHM$ прямые). Из равенства треугольников вытекает, что $QM = MH$.
В прямоугольном треугольнике $QCM$ угол $\angle QCM$ равен $30^{\circ}$, поэтому катет $QM$ вдвое меньше гипотенузы $CM$.
Обозначим $QM = x$, тогда $CM = 2x$.
Воспользуемся свойством биссектрисы $AM$ в треугольнике $ACH$:
$$\frac{MH}{CM} = \frac{AH}{AC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}.$$
Поскольку из равенства треугольников $AH = AQ$, получаем соотношение $AQ = \frac{1}{2} AC$. Это означает, что точка $Q$ является серединой отрезка $AC$, то есть $AQ = QC$.
Следовательно, прямоугольные треугольники $QCM$ и $QMA$ равны по двум катетам ($QC = QA$ и $QM$ — общий катет).
Отсюда $AM = CM = 2x$. Таким образом, в треугольнике $ABC$ отрезок $AM$ является медианой, длина которой равна половине стороны $BC$, к которой она проведена ($BM = MC = AM$).
Данное свойство характерно только для прямоугольного треугольника, значит, $\angle BAC = 90^{\circ}$, что и требовалось доказать.

б) Площадь треугольника $CMF$ можно вычислить по формуле $S_{CMF} = \frac{1}{2} CQ \cdot MF$, где $CQ$ выступает в роли высоты к прямой, содержащей $MF$.
В прямоугольном треугольнике $ABC$ катет $AB = 10$ лежит против угла в $30^{\circ}$, следовательно, гипотенуза $CB = 2 \cdot AB = 20$.
Так как $M$ — середина $CB$, имеем $CM = MB = AM = 10$.
Тогда $MH = \frac{1}{2} CM = 5$.
Поскольку $MB = 10$ и $MH = 5$, точка $H$ также делит отрезок $MB$ пополам, то есть $HB = 5$.
Треугольники $MHF$ и $MQF$ равны (по катету $MH = MQ$ и прилежащим углам $\angle MHF = \angle MQF = 90^\circ$, $\angle MFH = \angle QMC$ как накрест лежащие при параллельных прямых), откуда следует $FM = CM = 10$.
Применим теорему Пифагора для треугольника $ABC$:
$AC = \sqrt{CB^{2} - AB^{2}} = \sqrt{20^{2} - 10^{2}} = \sqrt{300} = 10 \sqrt{3}$.
Так как $Q$ — середина $AC$, то $CQ = \frac{10 \sqrt{3}}{2} = 5 \sqrt{3}$.
Вычисляем искомую площадь:
$S_{CMF} = \frac{1}{2} \cdot 5 \sqrt{3} \cdot 10 = 25 \sqrt{3}$.

Ответ: б) $25 \sqrt{3}$

Источник: ФИПИ