Задание №15 — Показательные неравенства

Решение:
Дано неравенство: $\frac{27^{x} - 3 \cdot 9^{x + 1} + 3^{x + 5} - 729}{50 x^{2} + 10 x + 0{,}5} \leq 0$.
Начнём с нахождения области допустимых значений (знаменатель не может быть равен нулю):
$50 x^{2} + 10 x + 0{,}5 \neq 0$
Для удобства умножим всё выражение на $2$:
$100 x^{2} + 20 x + 1 \neq 0$
Заметим формулу квадрата суммы $(10x + 1)^2 \neq 0$, откуда следует:
$10 x + 1 \neq 0$
$x \neq -0{,}1$.
Теперь проанализируем числитель дроби, учитывая знак неравенства:
$27^{x} - 3 \cdot 9^{x + 1} + 3^{x + 5} - 729 \leq 0$
Приведём все степени к основанию $3$:
$3^{3x} - 3 \cdot 9 \cdot 3^{2x} + 3^5 \cdot 3^x - 729 \leq 0$
$3^{3x} - 27 \cdot 3^{2x} + 243 \cdot 3^x - 729 \leq 0$
Введём новую переменную $t = 3^x$. Получим кубическое выражение:
$t^3 - 3 \cdot 9 \cdot t^2 + 3 \cdot 81 \cdot t - 9^3 \leq 0$
Данное выражение сворачивается по формуле куба разности $(a-b)^3$:
$(t - 9)^3 \leq 0$
Выполним обратный переход к переменной $x$:
$(3^x - 3^2)^3 \leq 0$
Так как функция $y = 3^x$ монотонно возрастает, знак разности $(3^x - 3^2)$ совпадает со знаком разности показателей $(x - 2)$:
$(x - 2)^3 \leq 0$, что равносильно $x \leq 2$.
Объединим полученное условие с ограничением по знаменателю на числовой прямой:

Ответ: $\left(-\infty; -0{,}1\right) \cup \left(-0{,}1; 2\right]$

Источник: ФИПИ