Задание №13 — Тригонометрические уравнения. Разложение на множители

Решение:
а) Исходное уравнение: $1 - \cos 2x + \sqrt{2} \sin(x - \pi) = \sqrt{2} - 2 \sin x$.
Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ и формулу приведения $\sin(x - \pi) = -\sin x$. Получим:
$1 - (1 - 2\sin^2 x) - \sqrt{2} \sin x - \sqrt{2} + 2 \sin x = 0$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$2\sin^2 x + 2\sin x - \sqrt{2} \sin x - \sqrt{2} = 0$
Воспользуемся методом группировки:
$2\sin x (\sin x + 1) - \sqrt{2} (\sin x + 1) = 0$
$(\sin x + 1)(2\sin x - \sqrt{2}) = 0$
Данное уравнение распадается на два простейших:
1) $\sin x = -1$, откуда $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$;
2) $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, что дает две серии решений: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ и $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Найдем корни, которые попадают в заданный промежуток $\left[-\pi; \frac{\pi}{2}\right]$, используя единичную окружность.

Из чертежа видно, что указанному отрезку соответствуют следующие значения:
$x_1 = -\frac{\pi}{2}$
$x_2 = \frac{\pi}{4}$

Ответ: а) $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k$; $\frac{\pi}{4} + 2\pi k$; $\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{\pi}{2}$; $\frac{\pi}{4}$.

Источник: ФИПИ