Задание №20 — Числовые наборы на карточках/досках

Решение:
а) Да, такая ситуация возможна. Рассмотрим в качестве примера ряд натуральных чисел от 87 до 174 включительно. В этом наборе ровно три числа кратны 25 (это 100, 125 и 150). При этом чисел, делящихся на 29, оказывается четыре: 87, 116, 145 и 174. Условие выполняется.

б) Предположим обратное: пусть в последовательности ровно 10 чисел делятся на 25. Согласно условию, количество чисел, кратных 29, должно быть как минимум 11.
Для того чтобы в наборе присутствовало 11 чисел, кратных 29, его длина должна составлять не менее $29 \cdot 10 + 1 = 291$ числа (так как между первым и одиннадцатым числами, делящимися на 29, укладывается 10 полных интервалов по 29).
С другой стороны, оценим максимальное количество чисел в последовательности, где ровно 10 кратны 25. В каждом блоке из 25 идущих подряд чисел содержится ровно одно кратное 25. Значит, 10 таких чисел могут располагаться в ряду длиной максимум $25 \cdot 9 + 24 + 24 = 273$ (если считать от числа, идущего сразу после кратного 25, до числа, идущего перед следующим кратным 25).
Более строго: если в ряду из $k$ чисел ровно 10 делятся на 25, то $k$ не может превышать $25 \cdot 11 - 1 = 274$. Однако для 11 чисел, кратных 29, необходимо $k \geq 291$. Получаем противоречие: $291 \leq k \leq 274$, что невозможно. Следовательно, ответ — нет.

в) Обозначим через $x$ количество чисел в наборе, которые делятся на 25. Тогда количество чисел, кратных 29, должно быть не меньше $x + 1$.
Минимальная длина последовательности $k$, содержащей $x + 1$ число, кратное 29, оценивается как $k \geq 29(x + 1 - 1) + 1 = 29x + 1$.
При этом количество чисел $x$, кратных 25, в такой последовательности должно удовлетворять неравенству:
$$x \geq \left\lceil \frac{(29x + 1) - 24}{25} \right\rceil = \left\lceil \frac{29x - 23}{25} \right\rceil$$
Отсюда следует:
$25x \geq 29x - 23$
$23 \geq 4x$
$x \leq 5,75$.
Значит, максимальное возможное значение $x$ равно 5. Подставим его для нахождения оценки сверху для $k$:
$k \leq 25 \cdot x + 24 \Rightarrow k \leq 25 \cdot 5 + 24 = 149$.
Примером такой последовательности из 149 чисел может служить отрезок от 551 до 699. В нем числа 575, 600, 625, 650, 675 (всего 5) делятся на 25, а числа 551, 580, 609, 638, 667, 696 (всего 6) делятся на 29.

Ответ: а) да; б) нет; в) 149

Источник: ФИПИ