Решение:
Выполним замену переменной, обозначив $t = x + \frac{4}{x}$. Тогда исходное уравнение примет вид квадратного относительно $t$:
$$at^{2} + 2t - 49a + 14 = 0$$
Исследуем зависимость количества корней $x$ от значения $t$. Из уравнения $x + \frac{4}{x} = t$ получаем квадратное уравнение $x^{2} - tx + 4 = 0$. Его дискриминант равен $D_x = t^{2} - 16$.
Отсюда следует:
— если $|t| > 4$ (то есть $t < -4$ или $t > 4$), уравнение имеет 2 различных корня $x$;
— если $|t| = 4$ (то есть $t = \pm 4$), уравнение имеет 1 корень $x$;
— если $|t| < 4$ (то есть $-4 < t < 4$), корней $x$ нет.
Нам необходимо найти значения параметра $a$, при которых исходное уравнение имеет ровно 2 решения.
1) Рассмотрим случай, когда $a = 0$:
Уравнение становится линейным: $2t + 14 = 0$, откуда $t = -7$.
Так как $-7 < -4$, это значение $t$ дает ровно 2 корня для $x$. Значит, $a = 0$ подходит.
2) Рассмотрим случай $a \neq 0$:
Найдем корни квадратного уравнения относительно $t$. Вычислим дискриминант:
$D_t = 2^2 - 4 \cdot a \cdot (14 - 49a) = 4 - 56a + 196a^2 = (14a - 2)^2$.
Корни уравнения будут следующими:
$t_1 = \frac{-2 + (14a - 2)}{2a} = \frac{14a - 4}{2a} = \frac{7a - 2}{a}$
$t_2 = \frac{-2 - (14a - 2)}{2a} = \frac{-14a}{2a} = -7$.
Заметим, что корень $t_2 = -7$ всегда дает 2 решения для $x$, так как $-7 < -4$.
Чтобы общее количество решений оставалось равным двум, второй корень $t_1$ либо должен совпадать с $t_2$, либо не должен давать новых решений для $x$.
— Случай совпадения корней: $t_1 = t_2$
$\frac{7a - 2}{a} = -7 \Rightarrow 7a - 2 = -7a \Rightarrow 14a = 2 \Rightarrow a = \frac{1}{7}$.
— Случай, когда $t_1$ не дает решений для $x$: это происходит при $-4 < t_1 < 4$.
Решим систему неравенств:
$$\begin{cases} \frac{7a - 2}{a} > -4 \\ \frac{7a - 2}{a} < 4 \end{cases}$$
Для $a > 0$:
$$\begin{cases} 7a - 2 > -4a \\ 7a - 2 < 4a \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 11a > 2 \\ 3a < 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a > \frac{2}{11} \\ a < \frac{2}{3} \end{cases}$$
Получаем интервал $a \in \left(\frac{2}{11}; \frac{2}{3}\right)$. (Заметим, что при $a < 0$ система решений не имеет).
Объединяя все найденные значения, получаем искомое множество параметров.

Ответ: $\{0\} \cup \{\frac{1}{7}\} \cup \left(\frac{2}{11} ; \frac{2}{3}\right)$

Источник: ФИПИ