Задание 18

Планиметрия (с доказательством) · 59 заданий

Задание №18
№18Среднее
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N - середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N - середины гипотенузы AC и катета BC соответственно. Точка K лежит на катете BC так, что BK: KC = 1: 3. а…
Планиметрия
Задание №18
№18Среднее
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N - середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
На стороне BC треугольника ABC отмечена точка D так, что AB = BD. Биссектриса BF треугольника ABC пересекает прямую AD в точке E. Из точки C на прямую…
Планиметрия
Задание №18
№18Среднее
В трапеции ABCD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании AD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точках C и M. а) Д…
Планиметрия
Задание №18
№18Среднее
Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC - диаметр этой окружности. а) Докажите, что прямая AC пара…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
В треугольнике ABC угол A равен 120°. Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольнике ABC, пересекаются в точке H. Точка O - центр окружности, описанно…
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка M такая, что AM = MC. а) Докажите, что центр вписанной в треугольник AMD окружности лежит на диагонал…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
Биссектрисы углов BAD и BCD равнобедренной трапеции ABCD пересекаются в точке O. На боковых сторонах AB и CD отмечаем точки M и N соответственно так,…
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
Дана трапеция с диагоналями равными 5 и 12. Сумма оснований равна 13. а) Докажите, что диагонали перпендикулярны. б) Найдите площадь трапеции.
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает сторону BC в точке K, а окружность описанную около треугольника ABC, - в точке M. а) Докажите, что треу…
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает сторону BC в точке K, а окружность описанную около треугольника ABC, - в точке M. а) Докажите, что треу…
Планиметрия

Задание №18 — Окружности и треугольники

Дан остроугольный треугольник $ABC .$ Известно, что $\angle BAC = 2 \angle ABC .$ Точка $O$   - центр описанной окружности треугольника $ABC .$ Вокруг треугольника $AOC$ описана окружность, которая пересекает сторону $BC$ в точке $P .$
а)  Докажите, что треугольники $ABC$ и $PAC$ подобны.
б)  Найдите $AB ,$ если $BC = \sqrt{21}$ и $AC = 3 .$

Ваше решениедо 3 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:

а) Обозначим величину угла $CBA$ через $\alpha$ . Согласно условию задачи, $\angle CAB = 2\alpha$ .
Заметим, что вписанный угол $CBA$ и центральный угол $COA$ опираются на общую дугу $CA$ , следовательно, $\angle COA = 2\angle CBA = 2\alpha$ .
Поскольку точки $O$ и $P$ лежат на окружности, углы $COA$ и $CPA$ являются вписанными, опирающимися на одну и ту же дугу (или равны как центральный и вписанный в зависимости от расположения точек), откуда получаем $\angle CPA = \angle COA = 2\alpha$ .
Рассмотрим треугольники $ABC$ и $PAC$ . В них угол $C$ является общим, а $\angle CPA = \angle CAB = 2\alpha$ . Таким образом, $\triangle ABC \sim \triangle PAC$ по первому признаку подобия (по двум углам).

б) Используя подобие треугольников $ABC$ и $PAC$ , запишем отношение соответствующих сторон:
$\frac{AB}{PA} = \frac{BC}{AC} = \frac{AC}{PC}$
Из равенства $\frac{BC}{AC} = \frac{AC}{PC}$ выразим длину отрезка $PC$ :
$PC = \frac{AC^{2}}{BC} = \frac{3^{2}}{\sqrt{21}} = \frac{9}{\sqrt{21}} = \frac{3\sqrt{21}}{7}$ .
Из того же подобия следует равенство углов: $\angle PAC = \angle CBA = \alpha$ .
Так как $\angle CAB = 2\alpha$ и $\angle PAC = \alpha$ , то луч $AP$ делит угол $A$ пополам, то есть является биссектрисой треугольника $ABC$ .
Воспользуемся свойством биссектрисы угла треугольника: $\frac{AB}{PB} = \frac{AC}{CP}$ .
Выразим искомую сторону $AB$ , учитывая, что $PB = CB - PC$ :
$AB = \frac{PB \cdot AC}{CP} = \frac{(BC - PC) \cdot AC}{PC} = \frac{(\sqrt{21} - \frac{3\sqrt{21}}{7}) \cdot 3}{\frac{3\sqrt{21}}{7}} = \frac{\frac{4\sqrt{21}}{7} \cdot 3}{\frac{3\sqrt{21}}{7}} = 4$ .

Ответ: б) 4

Источник: ФИПИ