Решение:

а) Обозначим величину угла $CBA$ через $\alpha$. Согласно условию задачи, $\angle CAB = 2\alpha$.
Заметим, что вписанный угол $CBA$ и центральный угол $COA$ опираются на общую дугу $CA$, следовательно, $\angle COA = 2\angle CBA = 2\alpha$.
Поскольку точки $O$ и $P$ лежат на окружности, углы $COA$ и $CPA$ являются вписанными, опирающимися на одну и ту же дугу (или равны как центральный и вписанный в зависимости от расположения точек), откуда получаем $\angle CPA = \angle COA = 2\alpha$.
Рассмотрим треугольники $ABC$ и $PAC$. В них угол $C$ является общим, а $\angle CPA = \angle CAB = 2\alpha$. Таким образом, $\triangle ABC \sim \triangle PAC$ по первому признаку подобия (по двум углам).

б) Используя подобие треугольников $ABC$ и $PAC$, запишем отношение соответствующих сторон:
$$\frac{AB}{PA} = \frac{BC}{AC} = \frac{AC}{PC}$$
Из равенства $\frac{BC}{AC} = \frac{AC}{PC}$ выразим длину отрезка $PC$:
$PC = \frac{AC^{2}}{BC} = \frac{3^{2}}{\sqrt{21}} = \frac{9}{\sqrt{21}} = \frac{3\sqrt{21}}{7}$.
Из того же подобия следует равенство углов: $\angle PAC = \angle CBA = \alpha$.
Так как $\angle CAB = 2\alpha$ и $\angle PAC = \alpha$, то луч $AP$ делит угол $A$ пополам, то есть является биссектрисой треугольника $ABC$.
Воспользуемся свойством биссектрисы угла треугольника: $\frac{AB}{PB} = \frac{AC}{CP}$.
Выразим искомую сторону $AB$, учитывая, что $PB = CB - PC$:
$AB = \frac{PB \cdot AC}{CP} = \frac{(BC - PC) \cdot AC}{PC} = \frac{(\sqrt{21} - \frac{3\sqrt{21}}{7}) \cdot 3}{\frac{3\sqrt{21}}{7}} = \frac{\frac{4\sqrt{21}}{7} \cdot 3}{\frac{3\sqrt{21}}{7}} = 4$.

Ответ: б) 4

Источник: ФИПИ