Задание №15 — Показательные неравенства

Решение:
Дано неравенство: $\frac{2^{3x} - 10 \cdot 2^{2x} + 17 \cdot 2^x - 8}{x} \geq 0$.
Сразу отметим область допустимых значений: знаменатель не может быть равен нулю, то есть $x \neq 0$.
Для анализа числителя введем новую переменную $t = 2^x$. Тогда выражение примет вид:
$t^3 - 10t^2 + 17t - 8$.
Разложим этот многочлен на множители, группируя слагаемые:
$t^3 - t^2 - 9t^2 + 9t + 8t - 8 = 0$
$t^2(t - 1) - 9t(t - 1) + 8(t - 1) = 0$
$(t - 1)(t^2 - 9t + 8) = 0$
Заметим, что корни квадратного трехчлена $t^2 - 9t + 8$ — это $1$ и $8$. Следовательно:
$(t - 1)(t - 1)(t - 8) = 0$
$(t - 1)^2(t - 8) = 0$.
Вернемся к исходной переменной $x$:
$\frac{(2^x - 1)^2(2^x - 8)}{x} \geq 0$.
Определим критические точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в нуль:
1) $2^x - 1 = 0 \Rightarrow 2^x = 2^0 \Rightarrow x = 0$;
2) $2^x - 8 = 0 \Rightarrow 2^x = 2^3 \Rightarrow x = 3$;
3) Знаменатель $x = 0$.
Воспользуемся методом интервалов для полученного выражения:

Учитывая условие $x \neq 0$, точка $0$ будет выколотой. При $x > 3$ выражение положительно, в точке $x = 3$ происходит смена знака, а при переходе через $x = 0$ знак не меняется, так как множитель $(2^x - 1)$ возведен в квадрат, но при этом $x$ в знаменателе также меняет знак (суммарно знак выражения меняется). Проверив интервалы, получаем решение.

Ответ: $(-\infty; 0) \cup [3; +\infty)$

Источник: ФИПИ