Решение:

а) По условию $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ — правильная призма, значит, её основаниями служат равносторонние треугольники. Рассмотрим грань $A_{1}B_{1}C_{1}$. Поскольку точка $K$ является серединой ребра $A_{1}B_{1}$, отрезок $C_{1}K$ выступает в роли медианы в правильном треугольнике $\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$. Следовательно, $C_{1}K$ также является высотой, то есть $C_{1}K \perp A_{1}B_{1}$. Так как боковые ребра призмы перпендикулярны плоскостям оснований, имеем $C_{1}K \perp AA_{1}$. Отрезок $C_{1}K$ перпендикулярен двум пересекающимся прямым ($A_{1}B_{1}$ и $AA_{1}$) плоскости боковой грани $ABB_{1}A_{1}$, значит, $C_{1}K \perp (ABB_{1}A_{1})$. Любая плоскость, проходящая через прямую $C_{1}K$, будет перпендикулярна грани $(ABB_{1}A_{1})$. Таким образом, $(MKC_{1}) \perp (ABB_{1}A_{1})$, что и требовалось доказать.

б) Искомое сечение — треугольник $MKC_{1}$. Из доказанного выше перпендикуляра $C_{1}K$ к плоскости грани следует, что $C_{1}K \perp MK$. Значит, $\triangle MKC_{1}$ является прямоугольным, и его площадь вычисляется по формуле: $S_{сеч} = \frac{1}{2} KC_{1} \cdot MK$.
Найдем необходимые стороны. В треугольнике $\triangle MA_{1}K$:
$A_{1}K = \frac{1}{2} A_{1}B_{1} = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10$.
Из условия $A_{1}M = 2AM$ и того, что $AA_{1} = AM + MA_{1} = 20$, получаем:
$3AM = 20 \Rightarrow AM = \frac{20}{3}$.
Тогда длина отрезка $A_{1}M = 2 \cdot \frac{20}{3} = \frac{40}{3}$.
Применим теорему Пифагора для $\triangle MA_{1}K$:
$MK^2 = MA_{1}^2 + A_{1}K^2 = \left(\frac{40}{3}\right)^2 + 10^2 = \frac{1600}{9} + 100 = \frac{2500}{9}$.
Откуда $MK = \frac{50}{3}$.
Теперь найдем высоту основания $KC_{1}$ из $\triangle A_{1}KC_{1}$:
$KC_{1}^2 = A_{1}C_{1}^2 - A_{1}K^2 = 20^2 - 10^2 = 400 - 100 = 300$.
Следовательно, $KC_{1} = 10\sqrt{3}$.
Вычисляем площадь сечения:
$S_{MKC_{1}} = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{3} \cdot \frac{50}{3} = \frac{250\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: б) $\frac{250\sqrt{3}}{3}$

Источник: ФИПИ