Задание №13 — Тригонометрические уравнения. Разложение на множители

Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $2 \sin x + 2 \sqrt{3} \sin (-x) - 4 \cos^2 x = \sqrt{3} - 4$.
Используя нечётность синуса ($\sin(-x) = -\sin x$) и основное тригонометрическое тождество ($\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$), преобразуем выражение:
$2 \sin x - 2 \sqrt{3} \sin x - 4(1 - \sin^2 x) - \sqrt{3} + 4 = 0$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$2 \sin x - 2 \sqrt{3} \sin x - 4 + 4 \sin^2 x - \sqrt{3} + 4 = 0$
$4 \sin^2 x + 2 \sin x - 2 \sqrt{3} \sin x - \sqrt{3} = 0$
Применим метод группировки:
$2 \sin x (2 \sin x + 1) - \sqrt{3} (2 \sin x + 1) = 0$
$(2 \sin x - \sqrt{3})(2 \sin x + 1) = 0$
Отсюда получаем два возможных случая:
1) $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, что дает корни: $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ и $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $\sin x = -\frac{1}{2}$, что дает корни: $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) Выберем корни, которые попадают в заданный промежуток $\left[2 \pi ; \frac{7 \pi}{2}\right]$, используя единичную окружность.

На указанном отрезке лежат следующие значения:
$x_{1} = 2 \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{7 \pi}{3}$
$x_{2} = 3 \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{8 \pi}{3}$
$x_{3} = 3 \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{19 \pi}{6}$

Ответ: а) $\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{7 \pi}{3}, \frac{8 \pi}{3}, \frac{19 \pi}{6}$

Источник: ФИПИ