Задание №20 — Числовые наборы на карточках/досках

Решение:
а) Такое возможно. В качестве примера рассмотрим ряд натуральных чисел от 69 до 138 включительно. В этом наборе ровно 70 чисел. Среди них кратными 20 являются три числа: $80, 100, 120$. Чисел, которые делятся на 23, здесь четыре: $69, 92, 115, 138$. Условие выполняется: $4 > 3$.
б) Предположим, что в некоторой последовательности ровно 10 чисел кратны 20. Согласно условию, количество чисел, делящихся на 23, должно быть как минимум 11. Чтобы в наборе оказалось 11 чисел, кратных 23, его длина должна составлять не менее $23 \cdot 10 + 1 = 231$ числа (так как между первым и одиннадцатым такими числами укладывается 10 полных интервалов по 23). Оценим количество чисел, кратных 20, в ряду из 231 числа. Если мы разобьем ряд на блоки по 20 чисел, то в каждом полном блоке будет ровно одно кратное 20. В остатке может быть не более 19 чисел. Количество чисел, делящихся на 20, в такой последовательности будет не меньше, чем $\frac{231 - 19}{20} = 10{,}6$. То есть их будет как минимум 11, что противоречит нашему предположению о 10 числах. Следовательно, ответ — нет.
в) Обозначим через $x$ количество чисел в наборе, которые делятся на 20. Тогда количество чисел, кратных 23, должно быть не меньше $x + 1$. Для того чтобы в последовательности было $x + 1$ число, кратное 23, её длина $k$ должна удовлетворять условию $k \geq 23 \cdot x + 1$. С другой стороны, количество чисел, кратных 20, в последовательности длиной $k$ оценивается снизу как $\frac{k - 19}{20}$. Подставим минимально возможную длину $k$: $$x \geq \frac{23x + 1 - 19}{20} \Rightarrow x \geq \frac{23x - 18}{20}$$ Решим полученное неравенство: $$20x \geq 23x - 18$$ $$3x \leq 18 \Rightarrow x \leq 6$$ Таким образом, максимальное количество чисел, кратных 20, равно 6. Максимальная длина последовательности $k$, при которой в ней может быть ровно $x$ чисел, кратных 20, ограничена сверху: $k \leq 20x + 19$. При $x = 6$ получаем: $k \leq 20 \cdot 6 + 19 = 139$. Примером такой последовательности может служить отрезок от 161 до 299. Здесь 7 чисел делятся на 23 ($161, 184, 207, 230, 253, 276, 299$) и 6 чисел делятся на 20 ($180, 200, 220, 240, 260, 280$).

Ответ: а) да; б) нет; в) 139

Источник: ФИПИ