Задание №17 — Окружности и треугольники

Решение:

а) Введём обозначения для углов треугольника: пусть $\angle CBA = \alpha$, тогда согласно условию $\angle CAB = 2\alpha$.
Заметим, что угол $COA$ является центральным, а угол $CBA$ — вписанным, и оба они опираются на дугу $CA$. Следовательно, $\angle COA = 2\angle CBA = 2\alpha$.
Поскольку углы $COA$ и $CPA$ опираются на одну и ту же дугу окружности, их величины совпадают, то есть $\angle CPA = 2\alpha$.
Рассмотрим треугольники $ABC$ и $PAC$. В них:
1) угол при вершине $C$ является общим;
2) $\angle CPA = \angle CAB = 2\alpha$.
Из этого следует, что $\triangle ABC \sim \triangle PAC$ по первому признаку подобия (по двум углам), что и требовалось доказать.

б) Используя подобие треугольников $ABC$ и $PAC$, запишем отношение соответствующих сторон:
$$\frac{AB}{PA} = \frac{BC}{AC} = \frac{AC}{PC}$$
Из пропорции $\frac{BC}{AC} = \frac{AC}{PC}$ выразим длину отрезка $PC$:
$PC = \frac{AC^{2}}{BC} = \frac{4^{2}}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$.
Также из подобия следует равенство углов: $\angle PAC = \angle CBA = \alpha$.
Так как $\angle CAB = 2\alpha$ и $\angle PAC = \alpha$, то луч $AP$ делит угол $A$ пополам, являясь биссектрисой треугольника $ABC$.
Воспользуемся свойством биссектрисы внутреннего угла треугольника: $\frac{AB}{PB} = \frac{AC}{CP}$.
Отсюда находим сторону $AB$:
$AB = \frac{PB \cdot AC}{CP} = \frac{(BC - PC) \cdot AC}{CP} = \frac{(6 - \frac{8}{3}) \cdot 4}{\frac{8}{3}} = \frac{\frac{10}{3} \cdot 4}{\frac{8}{3}} = \frac{40}{8} = 5$.

Ответ: б) 5

Источник: ФИПИ