Задание №16 — Показательные неравенства

Решение:
Дано неравенство: $\frac{2^{3 x} - 2 \cdot 4^{x + 1} + 5 \cdot 2^{x + 2} - 16}{x - 1} \geq 0$.
Начнем с области допустимых значений. Знаменатель не может быть равен нулю, следовательно: $x - 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.
Преобразуем выражение в числителе, приведя степени к основанию $2$:
$2^{3 x} - 2 \cdot 2^{2(x + 1)} + 5 \cdot 2^{x + 2} - 16 = 2^{3x} - 2 \cdot 2^{2x + 2} + 5 \cdot 2^{x + 2} - 16 = 2^{3x} - 8 \cdot 2^{2x} + 20 \cdot 2^x - 16$.
Для упрощения введем новую переменную $t = 2^x$. Тогда числитель примет вид многочлена:
$t^3 - 8t^2 + 20t - 16$.
Разложим этот многочлен на множители методом группировки:
$t^3 - 2t^2 - 6t^2 + 12t + 8t - 16 = t^2(t - 2) - 6t(t - 2) + 8(t - 2) = (t - 2)(t^2 - 6t + 8)$.
Квадратный трехчлен $t^2 - 6t + 8$ также разложим на множители (его корни $2$ и $4$):
$(t - 2)(t - 2)(t - 4) = (t - 2)^2(t - 4)$.
Вернемся к переменной $x$. Исходное неравенство теперь выглядит так:
$\frac{(2^x - 2)^2 (2^x - 4)}{x - 1} \geq 0$.
Определим критические точки, в которых числитель обращается в ноль:
1) $(2^x - 2)^2 = 0 \Rightarrow 2^x = 2^1 \Rightarrow x = 1$;
2) $2^x - 4 = 0 \Rightarrow 2^x = 2^2 \Rightarrow x = 2$.
Заметим, что точка $x = 1$ является корнем четной кратности для числителя, но она же исключается из-за условия в знаменателе. Проанализируем знаки выражения на числовой прямой:

Учитывая условие $x \neq 1$, выкалываем данную точку. При $x < 1$ числитель отрицателен и знаменатель отрицателен, что дает плюс. В интервале $(1; 2)$ числитель отрицателен, а знаменатель положителен. При $x \geq 2$ обе части дроби положительны (или числитель равен нулю).
Таким образом, решением неравенства являются промежутки: $(-\infty; 1) \cup [2; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; 1) \cup [2; +\infty)$

Источник: ФИПИ