Задание №14 — Сечения

Задание №14

В правильной треугольной призме $ABCA_{1} B_{1} C_{1}$ отметили точки $M$ и $K$ на ребрах $AA_{1}$ и $A_{1} B_{1}$ соответственно. Известно, что $AM = 5 MA_{1} , A_{1} K = KB_{1} .$ Через точки $M$ и $K$ провели плоскость $\alpha$ перпендикулярно плоскости  $ABB_{1} .$
а)  Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершину $C_{1} .$
б)  Найдите площадь сечения призмы $ABCA_{1} B_{1} C_{1}$ плоскостью $\alpha ,$ если все ребра призмы равны 12.

Ваше решениедо 3 баллов

Запишите решение задачи...

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение:

а) Рассмотрим правильную треугольную призму $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ . В её основании лежит равносторонний треугольник $A_{1}B_{1}C_{1}$ . По условию точка $K$ является серединой ребра $A_{1}B_{1}$ . Проведём отрезок $KC_{1}$ , который в правильном треугольнике $A_{1}B_{1}C_{1}$ служит медианой. Следовательно, $KC_{1}$ также является и высотой, то есть $KC_{1} \perp A_{1}B_{1}$ . Поскольку призма прямая, её боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований, откуда $KC_{1} \perp AA_{1}$ . Так как прямая $KC_{1}$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ( $A_{1}B_{1}$ и $AA_{1}$ ) плоскости боковой грани $ABB_{1}A_{1}$ , то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости $KC_{1} \perp (ABB_{1}A_{1})$ . Следовательно, любая плоскость, проходящая через $KC_{1}$ , в частности плоскость сечения $(MKC_{1})$ , будет перпендикулярна грани $(ABB_{1}A_{1})$ , что и требовалось доказать.

б) Найдём площадь сечения $MC_{1}K$ . Из доказанного выше перпендикуляра $KC_{1} \perp (ABB_{1}A_{1})$ следует, что прямая $KC_{1}$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, значит, $KC_{1} \perp MK$ . Таким образом, треугольник $MKC_{1}$ является прямоугольным, и его площадь вычисляется по формуле: $S_{MKC_{1}} = \frac{1}{2} \cdot KC_{1} \cdot MK$ Проанализируем данные для треугольника $MA_{1}K$ :
Известно, что $AA_{1} = 12$ и $AM = 5 MA_{1}$ . Так как $AA_{1} = AM + MA_{1}$ , получаем уравнение $6 MA_{1} = 12$ , откуда $MA_{1} = 2$ .
Поскольку $K$ — середина $A_{1}B_{1} = 12$ , имеем $A_{1}K = 6$ .
Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $MA_{1}K$ :
$MK = \sqrt{MA_{1}^{2} + A_{1}K^{2}} = \sqrt{2^{2} + 6^{2}} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$ .

Теперь найдём длину отрезка $KC_{1}$ из треугольника $A_{1}KC_{1}$ :
Так как $A_{1}C_{1} = 12$ и $A_{1}K = 6$ , по теореме Пифагора:
$KC_{1} = \sqrt{A_{1}C_{1}^{2} - A_{1}K^{2}} = \sqrt{144 - 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$ .

Вычислим искомую площадь сечения:
$S_{MC_{1}K} = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{10} = 6\sqrt{30}$ .

Ответ: б) $6\sqrt{30}$

Источник: ФИПИ

Задание №14