Решение:

а) Рассмотрим правильную треугольную призму $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$. В её основании лежит равносторонний треугольник $A_{1}B_{1}C_{1}$. По условию точка $K$ является серединой ребра $A_{1}B_{1}$. Проведём отрезок $KC_{1}$, который в правильном треугольнике $A_{1}B_{1}C_{1}$ служит медианой. Следовательно, $KC_{1}$ также является и высотой, то есть $KC_{1} \perp A_{1}B_{1}$. Поскольку призма прямая, её боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований, откуда $KC_{1} \perp AA_{1}$. Так как прямая $KC_{1}$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($A_{1}B_{1}$ и $AA_{1}$) плоскости боковой грани $ABB_{1}A_{1}$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости $KC_{1} \perp (ABB_{1}A_{1})$. Следовательно, любая плоскость, проходящая через $KC_{1}$, в частности плоскость сечения $(MKC_{1})$, будет перпендикулярна грани $(ABB_{1}A_{1})$, что и требовалось доказать.

б) Найдём площадь сечения $MC_{1}K$. Из доказанного выше перпендикуляра $KC_{1} \perp (ABB_{1}A_{1})$ следует, что прямая $KC_{1}$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, значит, $KC_{1} \perp MK$. Таким образом, треугольник $MKC_{1}$ является прямоугольным, и его площадь вычисляется по формуле: $$S_{MKC_{1}} = \frac{1}{2} \cdot KC_{1} \cdot MK$$ Проанализируем данные для треугольника $MA_{1}K$:
Известно, что $AA_{1} = 12$ и $AM = 5 MA_{1}$. Так как $AA_{1} = AM + MA_{1}$, получаем уравнение $6 MA_{1} = 12$, откуда $MA_{1} = 2$.
Поскольку $K$ — середина $A_{1}B_{1} = 12$, имеем $A_{1}K = 6$.
Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $MA_{1}K$:
$MK = \sqrt{MA_{1}^{2} + A_{1}K^{2}} = \sqrt{2^{2} + 6^{2}} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.

Теперь найдём длину отрезка $KC_{1}$ из треугольника $A_{1}KC_{1}$:
Так как $A_{1}C_{1} = 12$ и $A_{1}K = 6$, по теореме Пифагора:
$KC_{1} = \sqrt{A_{1}C_{1}^{2} - A_{1}K^{2}} = \sqrt{144 - 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$.

Вычислим искомую площадь сечения:
$S_{MC_{1}K} = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{10} = 6\sqrt{30}$.

Ответ: б) $6\sqrt{30}$

Источник: ФИПИ