Решение:
а) Преобразуем исходное уравнение: $2 \sin x + 2 \sqrt{2} \sin (-x) - 4 \cos^2 x = \sqrt{2} - 4$.
Используя нечётность синуса ($\sin(-x) = -\sin x$) и основное тригонометрическое тождество ($\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$), перепишем выражение:
$2 \sin x - 2 \sqrt{2} \sin x - 4(1 - \sin^2 x) - \sqrt{2} + 4 = 0$.
Раскроем скобки и упростим уравнение:
$2 \sin x - 2 \sqrt{2} \sin x - 4 + 4 \sin^2 x - \sqrt{2} + 4 = 0$,
$4 \sin^2 x + 2 \sin x - 2 \sqrt{2} \sin x - \sqrt{2} = 0$.
Применим метод группировки:
$2 \sin x (2 \sin x + 1) - \sqrt{2} (2 \sin x + 1) = 0$,
$(2 \sin x - \sqrt{2})(2 \sin x + 1) = 0$.
Отсюда получаем два возможных значения для синуса:
$\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ или $\sin x = -\frac{1}{2}$.
Решим эти простейшие уравнения:
1) Из $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ следует: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ и $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) Из $\sin x = -\frac{1}{2}$ следует: $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) Выполним отбор корней на заданном промежутке $\left[-\frac{\pi}{2}; \pi\right]$ с помощью единичной окружности.

Указанному отрезку соответствуют следующие значения:
$x_1 = -\frac{\pi}{6}$ (попадает в четвертую четверть);
$x_2 = \frac{\pi}{4}$ (попадает в первую четверть);
$x_3 = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$ (попадает во вторую четверть).

Ответ: а) $\frac{\pi}{4} + 2\pi k$, $\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, $-\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{3\pi}{4}$.

Источник: ФИПИ