Задание 14

Уравнения (тригонометрические, показательные, логарифмические) · 113 заданий

Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: x/(x + 2) + (x - 2)/(x - 1) - 2/(x² + x - 2) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 4; √(5)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: x/(x - 3) + (x + 3)/(x - 5) + 6/(x² - 8 x + 15) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(2); √(2)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: 2 ((x + 2)/(2 x - 1))² - (5 x + 10)/(2 x - 1) + 2 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(20); √(8)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (x - 2)/(x + 2) - (5 (x + 2))/(x - 2) + 6 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(6); √(6)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x + 5) (x - 3) (x + 3) · (x - 5) = 161. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 6].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x² + 6)² - (x² + 2)² = 6 (x² - 3 x + 2). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 2; 0].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: 36^x + 36 · 36^(- x) - 13 (6^x + 6 · 6^(- x)) + 42 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 2; 3].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (√(5 + 2 √(6)))^x + (√(5 - 2 √(6)))^x = 10. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 16; log₂₆ 700].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: log₂ x + log₃ x = log₂ x · log₃ x. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [√(5)/3; √(30)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₂ (|x - 1| + 2) = 3 - log₀,₅ (|x - 1| - 1). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 0,5; 2,2].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (x³ + 4 x - 4 x - 16) = log₃ (x + 4). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₀,₅ 8; log₀,₅ 1].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (3 x² - 4) = log₃ ((x (3 x² - 4))/3). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 3; log₅ 30].
Тригонометрич. ур-я

Задание №14 — Тригонометрические уравнения. Разложение на множители

а)  Решите уравнение $2 \sin x + 2 \sqrt{2} \sin \left(- x\right) - 4 \cos ^{2} x = \sqrt{2} - 4 .$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[- \frac{\pi}{2} ; \pi\right] .$

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
а) Преобразуем исходное уравнение: $2 \sin x + 2 \sqrt{2} \sin (-x) - 4 \cos^2 x = \sqrt{2} - 4$ .
Используя нечётность синуса ( $\sin(-x) = -\sin x$ ) и основное тригонометрическое тождество ( $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ ), перепишем выражение:
$2 \sin x - 2 \sqrt{2} \sin x - 4(1 - \sin^2 x) - \sqrt{2} + 4 = 0$ .
Раскроем скобки и упростим уравнение:
$2 \sin x - 2 \sqrt{2} \sin x - 4 + 4 \sin^2 x - \sqrt{2} + 4 = 0$ ,
$4 \sin^2 x + 2 \sin x - 2 \sqrt{2} \sin x - \sqrt{2} = 0$ .
Применим метод группировки:
$2 \sin x (2 \sin x + 1) - \sqrt{2} (2 \sin x + 1) = 0$ ,
$(2 \sin x - \sqrt{2})(2 \sin x + 1) = 0$ .
Отсюда получаем два возможных значения для синуса:
$\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ или $\sin x = -\frac{1}{2}$ .
Решим эти простейшие уравнения:
1) Из $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ следует: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ и $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$ , где $k \in \mathbb{Z}$ .
2) Из $\sin x = -\frac{1}{2}$ следует: $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$ , где $k \in \mathbb{Z}$ .

б) Выполним отбор корней на заданном промежутке $\left[-\frac{\pi}{2}; \pi\right]$ с помощью единичной окружности.

Указанному отрезку соответствуют следующие значения:
$x_1 = -\frac{\pi}{6}$ (попадает в четвертую четверть);
$x_2 = \frac{\pi}{4}$ (попадает в первую четверть);
$x_3 = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$ (попадает во вторую четверть).

Ответ: а) $\frac{\pi}{4} + 2\pi k$ , $\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$ , $-\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ , $-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$ , $k \in \mathbb{Z}$ ; б) $-\frac{\pi}{6}$ , $\frac{\pi}{4}$ , $\frac{3\pi}{4}$ .

Источник: ФИПИ