Решение:

а) Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $B_{1} C_{1}$ является его средней линией, следовательно, $B_{1} C_{1} \parallel BC$. Отсюда вытекает параллельность оснований $B_{1} C_{1} \parallel A_{1} H$.
Далее, $A_{1} B_{1}$ также является средней линией, поэтому $A_{1} B_{1} = \frac{1}{2} AB$.
В прямоугольном треугольнике $ABH$ отрезок $HC_{1}$ — это медиана, проведенная к гипотенузе, значит, $HC_{1} = \frac{1}{2} AB$.
Таким образом, в четырехугольнике $A_{1} B_{1} C_{1} H$ стороны $A_{1} B_{1}$ и $HC_{1}$ равны, что делает его равнобедренной трапецией. Известно, что около любой равнобедренной трапеции можно описать окружность. Утверждение доказано.

б) Поскольку $B_{1} C_{1}$ — средняя линия треугольника $ABC$, её длина равна половине основания: $B_{1} C_{1} = \frac{BC}{2} = \frac{4 \sqrt{3}}{2} = 2 \sqrt{3}$.
Треугольник $A_{1} B_{1} C_{1}$ подобен исходному треугольнику $ABC$ с коэффициентом $1/2$.
Воспользуемся теоремой синусов для нахождения радиуса $R$ окружности, описанной около трапеции $A_{1} B_{1} C_{1} H$ (она же описанная окружность для $\triangle A_{1} B_{1} C_{1}$):
$$2 R = \frac{B_{1} C_{1}}{\sin \angle A_{1}} = \frac{2 \sqrt{3}}{\sin 60^{\circ}} = \frac{2 \sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4.$$
В треугольнике $A_{1} C_{1} H$ вычислим величину угла $A_{1} C_{1} H$:
$\angle A_{1} C_{1} H = 180^{\circ} - \angle HA_{1} C_{1} - \angle A_{1} HC_{1} = 180^{\circ} - 15^{\circ} - 135^{\circ} = 30^{\circ}$.
Применим теорему синусов для стороны $A_{1} H$ в этой же окружности:
$$A_{1} H = 2 R \cdot \sin \angle A_{1} C_{1} H = 4 \cdot \sin 30^{\circ} = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2.$$

Ответ: б) 2

Источник: ФИПИ