Решение:

а) Рассмотрим отрезок $B_{1} C_{1}$. Так как он соединяет середины сторон $AC$ и $AB$, то является средней линией треугольника $ABC$. Отсюда следует, что $B_{1} C_{1} \parallel BC$, а значит, $B_{1} C_{1} \parallel A_{1} H$.
Далее, отрезок $A_{1} B_{1}$ также является средней линией, поэтому его длина $A_{1} B_{1} = \frac{1}{2} AB$.
В прямоугольном треугольнике $ABH$ отрезок $HC_{1}$ является медианой, проведенной к гипотенузе $AB$. По свойству медианы прямоугольного треугольника $HC_{1} = \frac{1}{2} AB$.
Таким образом, в четырехугольнике $A_{1} B_{1} C_{1} H$ стороны $A_{1} B_{1}$ и $HC_{1}$ равны, а основания $B_{1} C_{1}$ и $A_{1} H$ параллельны. Следовательно, $A_{1} B_{1} C_{1} H$ — равнобедренная трапеция. Известно, что около любой равнобедренной трапеции можно описать окружность, что и требовалось доказать.

б) Поскольку $B_{1} C_{1}$ — средняя линия, её длина составляет $B_{1} C_{1} = \frac{BC}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2 \sqrt{3}$.
Треугольник $A_{1} B_{1} C_{1}$ подобен исходному треугольнику $ABC$ по трем сторонам (коэффициент подобия $k = 0,5$).
Применим теорему синусов для треугольника $A_{1} B_{1} C_{1}$: $\frac{B_{1} C_{1}}{\sin \angle A_{1}} = 2 R$, где $R$ — радиус окружности, описанной около трапеции $A_{1} B_{1} C_{1} H$ (так как вершины треугольника лежат на этой же окружности).
Вычислим диаметр: $2 R = \frac{B_{1} C_{1}}{\sin 30^{\circ}} = \frac{2 \sqrt{3}}{1/2} = 4 \sqrt{3}$.
В треугольнике $A_{1} C_{1} H$ найдем величину угла $A_{1} C_{1} H$:
$\angle A_{1} C_{1} H = 180^{\circ} - \angle HA_{1} C_{1} - \angle A_{1} HC_{1} = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 105^{\circ} = 30^{\circ}$.
Снова воспользуемся теоремой синусов, теперь для треугольника $A_{1} C_{1} H$: $\frac{A_{1} H}{\sin \angle A_{1} C_{1} H} = 2 R$.
Отсюда находим искомый отрезок: $A_{1} H = 2 R \cdot \sin 30^{\circ} = 4 \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 2 \sqrt{3}$.

Ответ: б) $2 \sqrt{3}$

Источник: ФИПИ