Задание №17 — Многоугольники и их свойства

Решение:

а) Выполним дополнительное построение: через вершину $C$ проведём прямую, параллельную диагонали $BD$, до пересечения с продолжением основания $AD$ в точке $M$.
Так как $BC \parallel DM$ и $CM \parallel BD$, четырёхугольник $BCMD$ является параллелограммом по определению.
Отсюда следует, что $CM = BD = 8$ и $DM = BC$.
Рассмотрим треугольник $ACM$. Длина его стороны $AM$ равна сумме отрезков $AD$ и $DM$:
$AM = AD + BC = 10$.
Проверим выполнение равенства Пифагора для сторон этого треугольника:
$AC^{2} + CM^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100$.
Заметим, что $AM^{2} = 10^{2} = 100$.
Поскольку $AC^{2} + CM^{2} = AM^{2}$, по обратной теореме Пифагора угол $ACM$ прямой ($AC \perp CM$).
Так как $CM \parallel BD$, то и диагонали трапеции перпендикулярны: $AC \perp BD$. Что и требовалось доказать.

б) Пусть $CH$ — высота данной трапеции (и треугольника $ACM$).
Треугольники $AMC$ и $CMH$ подобны по двум углам (оба прямоугольные и имеют общий угол $M$).
Из подобия следует соотношение сторон: $\frac{CH}{AC} = \frac{CM}{AM}$.
Выразим высоту $CH$:
$CH = \frac{AC \cdot CM}{AM} = \frac{6 \cdot 8}{10} = 4,8$.

Ответ: б) 4,8

Источник: ФИПИ