Задание 18

Планиметрия (с доказательством) · 59 заданий

Задание №18
№18Среднее
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N - середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N - середины гипотенузы AC и катета BC соответственно. Точка K лежит на катете BC так, что BK: KC = 1: 3. а…
Планиметрия
Задание №18
№18Среднее
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N - середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
На стороне BC треугольника ABC отмечена точка D так, что AB = BD. Биссектриса BF треугольника ABC пересекает прямую AD в точке E. Из точки C на прямую…
Планиметрия
Задание №18
№18Среднее
В трапеции ABCD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании AD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точках C и M. а) Д…
Планиметрия
Задание №18
№18Среднее
Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC - диаметр этой окружности. а) Докажите, что прямая AC пара…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
В треугольнике ABC угол A равен 120°. Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольнике ABC, пересекаются в точке H. Точка O - центр окружности, описанно…
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка M такая, что AM = MC. а) Докажите, что центр вписанной в треугольник AMD окружности лежит на диагонал…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
Биссектрисы углов BAD и BCD равнобедренной трапеции ABCD пересекаются в точке O. На боковых сторонах AB и CD отмечаем точки M и N соответственно так,…
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
Дана трапеция с диагоналями равными 5 и 12. Сумма оснований равна 13. а) Докажите, что диагонали перпендикулярны. б) Найдите площадь трапеции.
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает сторону BC в точке K, а окружность описанную около треугольника ABC, - в точке M. а) Докажите, что треу…
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает сторону BC в точке K, а окружность описанную около треугольника ABC, - в точке M. а) Докажите, что треу…
Планиметрия

Задание №18 — Многоугольники и их свойства

Сумма основания трапеции равна 10. а её диагонали равны 6 и 8.
а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции.

Ваше решениедо 3 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:

а) Выполним дополнительное построение: через вершину $C$ проведём прямую, параллельную диагонали $BD$ , до пересечения с продолжением основания $AD$ в точке $M$ .
Так как $BC \parallel DM$ и $CM \parallel BD$ , четырёхугольник $BCMD$ является параллелограммом по определению.
Отсюда следует, что $CM = BD = 8$ и $DM = BC$ .
Рассмотрим треугольник $ACM$ . Длина его стороны $AM$ равна сумме отрезков $AD$ и $DM$ :
$AM = AD + BC = 10$ .
Проверим выполнение равенства Пифагора для сторон этого треугольника:
$AC^{2} + CM^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100$ .
Заметим, что $AM^{2} = 10^{2} = 100$ .
Поскольку $AC^{2} + CM^{2} = AM^{2}$ , по обратной теореме Пифагора угол $ACM$ прямой ( $AC \perp CM$ ).
Так как $CM \parallel BD$ , то и диагонали трапеции перпендикулярны: $AC \perp BD$ . Что и требовалось доказать.

б) Пусть $CH$ — высота данной трапеции (и треугольника $ACM$ ).
Треугольники $AMC$ и $CMH$ подобны по двум углам (оба прямоугольные и имеют общий угол $M$ ).
Из подобия следует соотношение сторон: $\frac{CH}{AC} = \frac{CM}{AM}$ .
Выразим высоту $CH$ :
$CH = \frac{AC \cdot CM}{AM} = \frac{6 \cdot 8}{10} = 4,8$ .

Ответ: б) 4,8

Источник: ФИПИ