Решение:

а) Заметим, что вписанные углы $\angle BAC$ и $\angle DCE$ опираются на равные по условию хорды $BC$ и $DE$, следовательно, они равны. Аналогичным образом получаем равенство углов $\angle CED$ и $\angle ACB$, так как они опираются на одну и ту же дугу (или равные хорды).
Рассмотрим треугольники $ABC$ и $CDE$. В них $BC = DE$, а углы при этих сторонах соответственно равны. Из этого следует, что $\triangle ABC = \triangle CDE$ (по второму признаку равенства треугольников), а значит, соответственные стороны $AC$ и $CE$ также равны, что и требовалось доказать.

б) Поскольку углы $\angle CAD$ и $\angle BCA$ опираются на равные дуги, прямые $BC$ и $AD$ параллельны.

Аналогично, из равенства дуг следует, что $\angle BDC = \angle DBE$, что обеспечивает параллельность $CD \parallel BE$. Таким образом, четырехугольник $KBCD$ является параллелограммом по определению.
Отсюда имеем: $BK = CD = AB = 3$ и $KD = BC = ED = 4$.
Найдем длину отрезка $AK$, вычтя из основания $AD$ отрезок $KD$: $AK = 6 - 4 = 2$.
Воспользуемся теоремой о произведении отрезков пересекающихся хорд $AD$ и $BE$:
$AK \cdot KD = BK \cdot KE$.
Подставим известные значения: $2 \cdot 4 = 3 \cdot KE$, откуда получаем $KE = \frac{8}{3}$.
Искомая длина отрезка $BE$ складывается из длин $BK$ и $KE$:
$BE = 3 + \frac{8}{3} = \frac{9+8}{3} = \frac{17}{3}$.

Ответ: б) $\frac{17}{3}$

Источник: ФИПИ