Задание 18

Планиметрия (с доказательством) · 59 заданий

Задание №18
№18Среднее
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N - середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N - середины гипотенузы AC и катета BC соответственно. Точка K лежит на катете BC так, что BK: KC = 1: 3. а…
Планиметрия
Задание №18
№18Среднее
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N - середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
На стороне BC треугольника ABC отмечена точка D так, что AB = BD. Биссектриса BF треугольника ABC пересекает прямую AD в точке E. Из точки C на прямую…
Планиметрия
Задание №18
№18Среднее
В трапеции ABCD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании AD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точках C и M. а) Д…
Планиметрия
Задание №18
№18Среднее
Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC - диаметр этой окружности. а) Докажите, что прямая AC пара…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
В треугольнике ABC угол A равен 120°. Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольнике ABC, пересекаются в точке H. Точка O - центр окружности, описанно…
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка M такая, что AM = MC. а) Докажите, что центр вписанной в треугольник AMD окружности лежит на диагонал…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
Биссектрисы углов BAD и BCD равнобедренной трапеции ABCD пересекаются в точке O. На боковых сторонах AB и CD отмечаем точки M и N соответственно так,…
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
Дана трапеция с диагоналями равными 5 и 12. Сумма оснований равна 13. а) Докажите, что диагонали перпендикулярны. б) Найдите площадь трапеции.
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает сторону BC в точке K, а окружность описанную около треугольника ABC, - в точке M. а) Докажите, что треу…
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает сторону BC в точке K, а окружность описанную около треугольника ABC, - в точке M. а) Докажите, что треу…
Планиметрия

Задание №18 — Окружности и четырехугольники

Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Известно, что $AB = CD = 3 , BC = DE = 4 .$
а) Докажите, что $AC = CE .$
б) Найдите длину диагонали $BE ,$ если $AD = 6 .$

Ваше решениедо 3 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:

а) Заметим, что вписанные углы $\angle BAC$ и $\angle DCE$ опираются на равные по условию хорды $BC$ и $DE$ , следовательно, они равны. Аналогичным образом получаем равенство углов $\angle CED$ и $\angle ACB$ , так как они опираются на одну и ту же дугу (или равные хорды).
Рассмотрим треугольники $ABC$ и $CDE$ . В них $BC = DE$ , а углы при этих сторонах соответственно равны. Из этого следует, что $\triangle ABC = \triangle CDE$ (по второму признаку равенства треугольников), а значит, соответственные стороны $AC$ и $CE$ также равны, что и требовалось доказать.

б) Поскольку углы $\angle CAD$ и $\angle BCA$ опираются на равные дуги, прямые $BC$ и $AD$ параллельны.

Аналогично, из равенства дуг следует, что $\angle BDC = \angle DBE$ , что обеспечивает параллельность $CD \parallel BE$ . Таким образом, четырехугольник $KBCD$ является параллелограммом по определению.
Отсюда имеем: $BK = CD = AB = 3$ и $KD = BC = ED = 4$ .
Найдем длину отрезка $AK$ , вычтя из основания $AD$ отрезок $KD$ : $AK = 6 - 4 = 2$ .
Воспользуемся теоремой о произведении отрезков пересекающихся хорд $AD$ и $BE$ :
$AK \cdot KD = BK \cdot KE$ .
Подставим известные значения: $2 \cdot 4 = 3 \cdot KE$ , откуда получаем $KE = \frac{8}{3}$ .
Искомая длина отрезка $BE$ складывается из длин $BK$ и $KE$ :
$BE = 3 + \frac{8}{3} = \frac{9+8}{3} = \frac{17}{3}$ .

Ответ: б) $\frac{17}{3}$

Источник: ФИПИ