Задание 18

Планиметрия (с доказательством) · 59 заданий

Задание №18
№18Среднее
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N - середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N - середины гипотенузы AC и катета BC соответственно. Точка K лежит на катете BC так, что BK: KC = 1: 3. а…
Планиметрия
Задание №18
№18Среднее
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N - середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
На стороне BC треугольника ABC отмечена точка D так, что AB = BD. Биссектриса BF треугольника ABC пересекает прямую AD в точке E. Из точки C на прямую…
Планиметрия
Задание №18
№18Среднее
В трапеции ABCD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании AD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точках C и M. а) Д…
Планиметрия
Задание №18
№18Среднее
Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC - диаметр этой окружности. а) Докажите, что прямая AC пара…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
В треугольнике ABC угол A равен 120°. Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольнике ABC, пересекаются в точке H. Точка O - центр окружности, описанно…
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка M такая, что AM = MC. а) Докажите, что центр вписанной в треугольник AMD окружности лежит на диагонал…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
Биссектрисы углов BAD и BCD равнобедренной трапеции ABCD пересекаются в точке O. На боковых сторонах AB и CD отмечаем точки M и N соответственно так,…
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
Дана трапеция с диагоналями равными 5 и 12. Сумма оснований равна 13. а) Докажите, что диагонали перпендикулярны. б) Найдите площадь трапеции.
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает сторону BC в точке K, а окружность описанную около треугольника ABC, - в точке M. а) Докажите, что треу…
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает сторону BC в точке K, а окружность описанную около треугольника ABC, - в точке M. а) Докажите, что треу…
Планиметрия

Задание №18 — Окружности и четырехугольники

Окружность проходит через вершины $A , B$ и $D$ параллелограмма $ABCD ,$ пересекает сторону $BC$ в точках $B$ и $E$ и пересекает сторону $CD$ в точках $K$ и $D .$
а) Докажите, что $AE = AK .$
б) Найдите $AD ,$ если $CE = 10 ,$ $DK = 9$ и $\angle BAD = 0{,}2 .$

Ваше решениедо 3 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:

а) Заметим, что $BE \parallel AD$ , следовательно, четырёхугольник $ABED$ является вписанной трапецией. Любая вписанная трапеция — равнобедренная, откуда получаем равенство углов при основании: $\angle EDA = \angle BAD$ .
Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $\angle BAD = \angle BCD$ . Кроме того, при параллельных прямых $AD$ и $CB$ соответственные углы равны: $\angle BCD = \angle ADK$ .
Таким образом, $\angle EDA = \angle ADK$ . В окружности равным вписанным углам соответствуют равные хорды, значит, $AE = AK$ , что и требовалось доказать.

б) Рассмотрим треугольник $CED$ . Углы $\angle CED$ и $\angle EDA$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых. С учётом доказанного в пункте (а), получаем $\angle CED = \angle ECD$ , то есть $\triangle CED$ является равнобедренным ( $CD = ED$ ).
Опустим высоту $DH$ на основание $CE$ . В равнобедренном треугольнике высота является медианой, поэтому $CH = \frac{1}{2}CE$ .
Из прямоугольного треугольника $DHC$ выразим боковую сторону:
$CD = \frac{CH}{\cos \angle HCD} = \frac{CE}{2 \cos \angle C} = \frac{10}{2 \cdot \frac{2}{5}} = \frac{50}{4} = \frac{25}{2}.$
Воспользуемся свойством секущих, проведённых из одной точки: произведение всей секущей на её внешнюю часть есть величина постоянная.
$CB \cdot CE = CD \cdot CK$
Отсюда находим сторону параллелограмма $CB$ :
$CB = \frac{CD \cdot (CD + DK)}{CE} = \frac{\frac{25}{2} \cdot (\frac{25}{2} + 9)}{10} = \frac{25 \cdot 43}{2 \cdot 2 \cdot 10} = \frac{5 \cdot 43}{8} = \frac{215}{8}.$
Поскольку в параллелограмме противоположные стороны равны, то $AD = CB = \frac{215}{8}.$

Ответ: б) $\frac{215}{8}$

Источник: ФИПИ