Решение:

а) Заметим, что $BE \parallel AD$, следовательно, четырёхугольник $ABED$ является вписанной трапецией. Любая вписанная трапеция — равнобедренная, откуда получаем равенство углов при основании: $\angle EDA = \angle BAD$.
Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $\angle BAD = \angle BCD$. Кроме того, при параллельных прямых $AD$ и $CB$ соответственные углы равны: $\angle BCD = \angle ADK$.
Таким образом, $\angle EDA = \angle ADK$. В окружности равным вписанным углам соответствуют равные хорды, значит, $AE = AK$, что и требовалось доказать.

б) Рассмотрим треугольник $CED$. Углы $\angle CED$ и $\angle EDA$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых. С учётом доказанного в пункте (а), получаем $\angle CED = \angle ECD$, то есть $\triangle CED$ является равнобедренным ($CD = ED$).
Опустим высоту $DH$ на основание $CE$. В равнобедренном треугольнике высота является медианой, поэтому $CH = \frac{1}{2}CE$.
Из прямоугольного треугольника $DHC$ выразим боковую сторону:
$CD = \frac{CH}{\cos \angle HCD} = \frac{CE}{2 \cos \angle C} = \frac{10}{2 \cdot \frac{2}{5}} = \frac{50}{4} = \frac{25}{2}.$
Воспользуемся свойством секущих, проведённых из одной точки: произведение всей секущей на её внешнюю часть есть величина постоянная.
$CB \cdot CE = CD \cdot CK$
Отсюда находим сторону параллелограмма $CB$:
$CB = \frac{CD \cdot (CD + DK)}{CE} = \frac{\frac{25}{2} \cdot (\frac{25}{2} + 9)}{10} = \frac{25 \cdot 43}{2 \cdot 2 \cdot 10} = \frac{5 \cdot 43}{8} = \frac{215}{8}.$
Поскольку в параллелограмме противоположные стороны равны, то $AD = CB = \frac{215}{8}.$

Ответ: б) $\frac{215}{8}$

Источник: ФИПИ