Задание 18

Планиметрия (с доказательством) · 59 заданий

Задание №18
№18Среднее
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N - середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N - середины гипотенузы AC и катета BC соответственно. Точка K лежит на катете BC так, что BK: KC = 1: 3. а…
Планиметрия
Задание №18
№18Среднее
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N - середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
На стороне BC треугольника ABC отмечена точка D так, что AB = BD. Биссектриса BF треугольника ABC пересекает прямую AD в точке E. Из точки C на прямую…
Планиметрия
Задание №18
№18Среднее
В трапеции ABCD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании AD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точках C и M. а) Д…
Планиметрия
Задание №18
№18Среднее
Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC - диаметр этой окружности. а) Докажите, что прямая AC пара…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
В треугольнике ABC угол A равен 120°. Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольнике ABC, пересекаются в точке H. Точка O - центр окружности, описанно…
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка M такая, что AM = MC. а) Докажите, что центр вписанной в треугольник AMD окружности лежит на диагонал…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
Биссектрисы углов BAD и BCD равнобедренной трапеции ABCD пересекаются в точке O. На боковых сторонах AB и CD отмечаем точки M и N соответственно так,…
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
Дана трапеция с диагоналями равными 5 и 12. Сумма оснований равна 13. а) Докажите, что диагонали перпендикулярны. б) Найдите площадь трапеции.
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает сторону BC в точке K, а окружность описанную около треугольника ABC, - в точке M. а) Докажите, что треу…
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает сторону BC в точке K, а окружность описанную около треугольника ABC, - в точке M. а) Докажите, что треу…
Планиметрия

Задание №18 — Окружности и четырехугольники

Окружность проходит через вершины $A , B$ и $D$ параллелограмма $\text{ABCD},$ пересекает сторону $BC$ в точках $B$ и $E$ и пересекает продолжение стороны $CD$ за точку $D$ в точке $K .$
а) Докажите, что $AE = AK .$
б) Найдите отношение $KE : BD ,$ если $\angle BAD = 60^{\circ} .$

Ваше решениедо 3 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:

а) Рассмотрим четырёхугольник $ABED$ . Так как он вписан в окружность и является трапецией, то эта трапеция обязательно равнобедренная. Отсюда следует равенство углов при основании: $\angle ADE = \angle BAD$ .
Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные углы равны: $\angle BAD = \angle BCD$ . Также, из параллельности прямых $BC$ и $AD$ вытекает, что соответственные углы $\angle ADK$ и $\angle BCD$ равны.
Таким образом, мы получаем цепочку равенств: $\angle ADE = \angle BAD = \angle BCD = \angle ADK$ . Из того, что $\angle ADE = \angle ADK$ , следует равенство соответствующих хорд (или дуг), то есть $AE = AK$ . Утверждение доказано.

б) Найдём отношение длин отрезков $KE$ и $BD$ .
Согласно условию и предыдущим рассуждениям, углы $\angle EDA$ , $\angle ADK$ и $\angle BAD$ равны по $60^{\circ}$ .
Тогда величина угла $EDK$ составляет: $\angle EDK = \angle EDA + \angle ADK = 60^{\circ} + 60^{\circ} = 120^{\circ}$ .
Заметим, что четырёхугольник $EDKA$ является вписанным, следовательно, сумма его противоположных углов равна $180^{\circ}$ :
$\angle EAK = 180^{\circ} - \angle EDK = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}.$
Заметим, что $\angle BAD = \angle EAK = 60^{\circ}$ . Эти вписанные углы опираются на хорды $BD$ и $EK$ соответственно в одной и той же окружности. Так как равным вписанным углам соответствуют равные хорды, получаем $BD = EK$ .
Следовательно, искомое отношение $\frac{EK}{BD} = 1$ .

Ответ: б) 1

Источник: ФИПИ