Задание №17 — Окружности и четырехугольники

Решение:

а) Рассмотрим четырёхугольник $ABED$. Так как он вписан в окружность и является трапецией, то эта трапеция обязательно равнобедренная. Отсюда следует равенство углов при основании: $\angle ADE = \angle BAD$.
Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные углы равны: $\angle BAD = \angle BCD$. Также, из параллельности прямых $BC$ и $AD$ вытекает, что соответственные углы $\angle ADK$ и $\angle BCD$ равны.
Таким образом, мы получаем цепочку равенств: $\angle ADE = \angle BAD = \angle BCD = \angle ADK$. Из того, что $\angle ADE = \angle ADK$, следует равенство соответствующих хорд (или дуг), то есть $AE = AK$. Утверждение доказано.

б) Найдём отношение длин отрезков $KE$ и $BD$.
Согласно условию и предыдущим рассуждениям, углы $\angle EDA$, $\angle ADK$ и $\angle BAD$ равны по $60^{\circ}$.
Тогда величина угла $EDK$ составляет: $\angle EDK = \angle EDA + \angle ADK = 60^{\circ} + 60^{\circ} = 120^{\circ}$.
Заметим, что четырёхугольник $EDKA$ является вписанным, следовательно, сумма его противоположных углов равна $180^{\circ}$:
$$\angle EAK = 180^{\circ} - \angle EDK = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}.$$
Заметим, что $\angle BAD = \angle EAK = 60^{\circ}$. Эти вписанные углы опираются на хорды $BD$ и $EK$ соответственно в одной и той же окружности. Так как равным вписанным углам соответствуют равные хорды, получаем $BD = EK$.
Следовательно, искомое отношение $\frac{EK}{BD} = 1$.

Ответ: б) 1

Источник: ФИПИ