Решение:

а) Выполним дополнительное построение: через вершину $C$ проведём прямую, параллельную диагонали $BD$, до пересечения с продолжением основания $AD$ в точке $K$.
Так как $BC \parallel DK$ и $CK \parallel BD$, четырёхугольник $BCKD$ является параллелограммам. Отсюда следует, что $BC = DK$.
Сумма оснований трапеции равна длине отрезка $AK$: $AD + BC = AD + DK = 13$.
Рассмотрим треугольник $ACK$. Заметим, что сумма квадратов его сторон $AC$ и $CK$ (где $CK = BD$) равна:
$AC^{2} + CK^{2} = 12^{2} + 5^{2} = 144 + 25 = 169$.
Поскольку $AK^{2} = 13^{2} = 169$, то выполняется равенство $AC^{2} + CK^{2} = AK^{2}$. Согласно обратной теореме Пифагора, треугольник $ACK$ прямоугольный с прямым углом при вершине $C$ ($\angle ACK = 90^{\circ}$). Так как $CK \parallel BD$, то и диагонали трапеции перпендикулярны: $AC \bot BD$. Что и требовалось доказать.

б) Проведём высоту трапеции $CH$, которая также является высотой треугольника $ACK$.
Прямоугольные треугольники $ACK$ и $CKH$ подобны по двум углам (у них общий угол $K$).
Из подобия имеем отношение сторон: $\frac{AC}{CH} = \frac{AK}{CK}$. Учитывая, что $CK = BD$, выразим высоту:
$CH = \frac{AC \cdot CK}{AK} = \frac{12 \cdot 5}{13} = \frac{60}{13}$.

Ответ: б) $\frac{60}{13}$

Источник: ФИПИ