Задание 18

Планиметрия (с доказательством) · 59 заданий

Задание №18
№18Среднее
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N - середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N - середины гипотенузы AC и катета BC соответственно. Точка K лежит на катете BC так, что BK: KC = 1: 3. а…
Планиметрия
Задание №18
№18Среднее
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N - середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
На стороне BC треугольника ABC отмечена точка D так, что AB = BD. Биссектриса BF треугольника ABC пересекает прямую AD в точке E. Из точки C на прямую…
Планиметрия
Задание №18
№18Среднее
В трапеции ABCD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании AD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точках C и M. а) Д…
Планиметрия
Задание №18
№18Среднее
Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC - диаметр этой окружности. а) Докажите, что прямая AC пара…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
В треугольнике ABC угол A равен 120°. Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольнике ABC, пересекаются в точке H. Точка O - центр окружности, описанно…
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка M такая, что AM = MC. а) Докажите, что центр вписанной в треугольник AMD окружности лежит на диагонал…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
Биссектрисы углов BAD и BCD равнобедренной трапеции ABCD пересекаются в точке O. На боковых сторонах AB и CD отмечаем точки M и N соответственно так,…
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
Дана трапеция с диагоналями равными 5 и 12. Сумма оснований равна 13. а) Докажите, что диагонали перпендикулярны. б) Найдите площадь трапеции.
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает сторону BC в точке K, а окружность описанную около треугольника ABC, - в точке M. а) Докажите, что треу…
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает сторону BC в точке K, а окружность описанную около треугольника ABC, - в точке M. а) Докажите, что треу…
Планиметрия

Задание №18 — Многоугольники и их свойства

Сумма оснований трапеции равна 13, а её диагонали равны 5 и 12.
а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции.

Ваше решениедо 3 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:

а) Выполним дополнительное построение: через вершину $C$ проведём прямую, параллельную диагонали $BD$ , до пересечения с продолжением основания $AD$ в точке $K$ .
Так как $BC \parallel DK$ и $CK \parallel BD$ , четырёхугольник $BCKD$ является параллелограммам. Отсюда следует, что $BC = DK$ .
Сумма оснований трапеции равна длине отрезка $AK$ : $AD + BC = AD + DK = 13$ .
Рассмотрим треугольник $ACK$ . Заметим, что сумма квадратов его сторон $AC$ и $CK$ (где $CK = BD$ ) равна:
$AC^{2} + CK^{2} = 12^{2} + 5^{2} = 144 + 25 = 169$ .
Поскольку $AK^{2} = 13^{2} = 169$ , то выполняется равенство $AC^{2} + CK^{2} = AK^{2}$ . Согласно обратной теореме Пифагора, треугольник $ACK$ прямоугольный с прямым углом при вершине $C$ ( $\angle ACK = 90^{\circ}$ ). Так как $CK \parallel BD$ , то и диагонали трапеции перпендикулярны: $AC \bot BD$ . Что и требовалось доказать.

б) Проведём высоту трапеции $CH$ , которая также является высотой треугольника $ACK$ .
Прямоугольные треугольники $ACK$ и $CKH$ подобны по двум углам (у них общий угол $K$ ).
Из подобия имеем отношение сторон: $\frac{AC}{CH} = \frac{AK}{CK}$ . Учитывая, что $CK = BD$ , выразим высоту:
$CH = \frac{AC \cdot CK}{AK} = \frac{12 \cdot 5}{13} = \frac{60}{13}$ .

Ответ: б) $\frac{60}{13}$

Источник: ФИПИ