Задание 18

Планиметрия (с доказательством) · 59 заданий

Задание №18
№18Среднее
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N - середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N - середины гипотенузы AC и катета BC соответственно. Точка K лежит на катете BC так, что BK: KC = 1: 3. а…
Планиметрия
Задание №18
№18Среднее
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N - середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
На стороне BC треугольника ABC отмечена точка D так, что AB = BD. Биссектриса BF треугольника ABC пересекает прямую AD в точке E. Из точки C на прямую…
Планиметрия
Задание №18
№18Среднее
В трапеции ABCD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании AD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точках C и M. а) Д…
Планиметрия
Задание №18
№18Среднее
Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC - диаметр этой окружности. а) Докажите, что прямая AC пара…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
В треугольнике ABC угол A равен 120°. Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольнике ABC, пересекаются в точке H. Точка O - центр окружности, описанно…
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка M такая, что AM = MC. а) Докажите, что центр вписанной в треугольник AMD окружности лежит на диагонал…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
Биссектрисы углов BAD и BCD равнобедренной трапеции ABCD пересекаются в точке O. На боковых сторонах AB и CD отмечаем точки M и N соответственно так,…
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
Дана трапеция с диагоналями равными 5 и 12. Сумма оснований равна 13. а) Докажите, что диагонали перпендикулярны. б) Найдите площадь трапеции.
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает сторону BC в точке K, а окружность описанную около треугольника ABC, - в точке M. а) Докажите, что треу…
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает сторону BC в точке K, а окружность описанную около треугольника ABC, - в точке M. а) Докажите, что треу…
Планиметрия

Задание №18 — Многоугольники и их свойства

Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Диагонали $AD$ и $BE$ пересекаются в точке $M .$ Известно, что $BCDM$ - параллелограмм.
а) Докажите, что $BC = DE .$
б) Найдите длину стороны $AB ,$ если известно, что $DE = 4 ,$ $AD = 7 ,$ $BE = 8$ и $AB > BC .$

Ваше решениедо 3 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:

а) Докажем равенство отрезков $BC$ и $DE$ .
Обозначим величину угла $\angle CBM$ через $\alpha$ .
Поскольку $BCDM$ является параллелограммом, то противоположные углы в сумме с соседними дают $180^{\circ}$ , следовательно, $\angle BCD = 180^{\circ} - \alpha$ .
Четырёхугольник $BCDE$ вписан в окружность, поэтому сумма его противолежащих углов равна $180^{\circ}$ :
$\angle BCD + \angle BED = 180^{\circ}$ .
Отсюда находим, что $\angle BED = 180^{\circ} - \angle BCD = 180^{\circ} - (180^{\circ} - \alpha) = \alpha$ .
Заметим, что $\angle DME = \angle CBM = \alpha$ как соответственные углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ .
В треугольнике $MDE$ два угла равны ( $\angle MED = \angle DME = \alpha$ ), значит, он равнобедренный, и $DM = DE$ .
Так как в параллелограмме $BCDM$ стороны $BC$ и $DM$ равны, получаем цепочку равенств: $BC = DM = DE$ . Утверждение доказано.

б) Найдём длину стороны $AB$ .
Из условия параллельности $BC \parallel MD$ следует, что $BC \parallel AD$ . Таким образом, четырёхугольник $ABCD$ — это вписанная трапеция. Любая вписанная трапеция является равнобедренной, откуда $AB = CD$ .
Пусть $CD = x$ , тогда и $BM = x$ . Согласно пункту «а», $DE = DM = BC = 4$ .
Длина отрезка $ME$ вычисляется как $BE - BM = 8 - x$ .
Определим длину $AM$ : $AM = AD - DM = 7 - 4 = 3$ .
Воспользуемся теоремой о произведении отрезков пересекающихся хорд $AD$ и $BE$ :
$AM \cdot MD = BM \cdot ME$
Подставим известные значения:
$3 \cdot 4 = x \cdot (8 - x)$
$12 = 8x - x^2$
$x^2 - 8x + 12 = 0$
Корнями данного квадратного уравнения являются $x_1 = 6$ и $x_2 = 2$ .
По условию задачи сторона $AB$ должна быть больше $BC$ ( $x > 4$ ). Этому условию удовлетворяет только значение $x = 6$ . Следовательно, $AB = 6$ .

Ответ: б) 6

Источник: ФИПИ