Задание №17 — Многоугольники и их свойства

Решение:

а) Докажем равенство отрезков $BC$ и $DE$.
Обозначим величину угла $\angle CBM$ через $\alpha$.
Поскольку $BCDM$ является параллелограммом, то противоположные углы в сумме с соседними дают $180^{\circ}$, следовательно, $\angle BCD = 180^{\circ} - \alpha$.
Четырёхугольник $BCDE$ вписан в окружность, поэтому сумма его противолежащих углов равна $180^{\circ}$:
$\angle BCD + \angle BED = 180^{\circ}$.
Отсюда находим, что $\angle BED = 180^{\circ} - \angle BCD = 180^{\circ} - (180^{\circ} - \alpha) = \alpha$.
Заметим, что $\angle DME = \angle CBM = \alpha$ как соответственные углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$.
В треугольнике $MDE$ два угла равны ($\angle MED = \angle DME = \alpha$), значит, он равнобедренный, и $DM = DE$.
Так как в параллелограмме $BCDM$ стороны $BC$ и $DM$ равны, получаем цепочку равенств: $BC = DM = DE$. Утверждение доказано.

б) Найдём длину стороны $AB$.
Из условия параллельности $BC \parallel MD$ следует, что $BC \parallel AD$. Таким образом, четырёхугольник $ABCD$ — это вписанная трапеция. Любая вписанная трапеция является равнобедренной, откуда $AB = CD$.
Пусть $CD = x$, тогда и $BM = x$. Согласно пункту «а», $DE = DM = BC = 4$.
Длина отрезка $ME$ вычисляется как $BE - BM = 8 - x$.
Определим длину $AM$: $AM = AD - DM = 7 - 4 = 3$.
Воспользуемся теоремой о произведении отрезков пересекающихся хорд $AD$ и $BE$:
$AM \cdot MD = BM \cdot ME$
Подставим известные значения:
$3 \cdot 4 = x \cdot (8 - x)$
$12 = 8x - x^2$
$x^2 - 8x + 12 = 0$
Корнями данного квадратного уравнения являются $x_1 = 6$ и $x_2 = 2$.
По условию задачи сторона $AB$ должна быть больше $BC$ ($x > 4$). Этому условию удовлетворяет только значение $x = 6$. Следовательно, $AB = 6$.

Ответ: б) 6

Источник: ФИПИ