Задание 18

Планиметрия (с доказательством) · 59 заданий

Задание №18
№18Среднее
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N - середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N - середины гипотенузы AC и катета BC соответственно. Точка K лежит на катете BC так, что BK: KC = 1: 3. а…
Планиметрия
Задание №18
№18Среднее
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N - середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
На стороне BC треугольника ABC отмечена точка D так, что AB = BD. Биссектриса BF треугольника ABC пересекает прямую AD в точке E. Из точки C на прямую…
Планиметрия
Задание №18
№18Среднее
В трапеции ABCD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании AD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точках C и M. а) Д…
Планиметрия
Задание №18
№18Среднее
Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC - диаметр этой окружности. а) Докажите, что прямая AC пара…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
В треугольнике ABC угол A равен 120°. Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольнике ABC, пересекаются в точке H. Точка O - центр окружности, описанно…
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка M такая, что AM = MC. а) Докажите, что центр вписанной в треугольник AMD окружности лежит на диагонал…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
Биссектрисы углов BAD и BCD равнобедренной трапеции ABCD пересекаются в точке O. На боковых сторонах AB и CD отмечаем точки M и N соответственно так,…
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
Дана трапеция с диагоналями равными 5 и 12. Сумма оснований равна 13. а) Докажите, что диагонали перпендикулярны. б) Найдите площадь трапеции.
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает сторону BC в точке K, а окружность описанную около треугольника ABC, - в точке M. а) Докажите, что треу…
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает сторону BC в точке K, а окружность описанную около треугольника ABC, - в точке M. а) Докажите, что треу…
Планиметрия

Задание №18 — Многоугольники и их свойства

В равнобедренной трапеции $ABCD$ основание $AD$ в три раза больше основания $BC .$
а) Докажите, что высота $CH$ трапеции разбивает основание $AD$ на отрезки, один из которых вдвое больше другого.
б) Найдите расстояние от вершины $C$ до середины диагонали $BD ,$ если $AD = 15$ и $AC = 2 \sqrt{61} .$

Ваше решениедо 3 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:

а) Проведем вторую высоту трапеции — отрезок $BM$ .
Так как $BM$ и $CH$ перпендикулярны основанию $AD$ , четырехугольник $BCHM$ является прямоугольником, откуда следует равенство $BC = MH$ .
Рассмотрим прямоугольные треугольники $BAM$ и $HCD$ . Они равны по гипотенузе и катету, так как боковые стороны равнобедренной трапеции $AB = CD$ , а высоты $BM = CH$ .
Вычислим длину отрезка $HD$ :
$AM = HD = \frac{AD - MH}{2} = \frac{AD - BC}{2} = \frac{3BC - BC}{2} = BC.$
Тогда длина отрезка $AH$ складывается из $AM$ и $MH$ :
$AH = AM + MH = BC + BC = 2BC$ .
Таким образом, $AH = 2BC$ и $DH = BC$ , что полностью доказывает утверждение задачи.

б)

Вспомним свойство равнобедренной трапеции: её диагонали имеют одинаковую длину, следовательно, $AC = BD = 2\sqrt{61}$ .
По условию $AD = 15$ , значит, $BC = \frac{1}{3} AD = 5$ .
Воспользуемся высотой $CH$ , проведенной в пункте (а). Как было доказано ранее, $HD = BC = 5$ .
Пусть $Q$ — точка пересечения высоты $CH$ и диагонали $BD$ .
Рассмотрим треугольники $HQD$ и $BQC$ . Они равны по катету и прилежащему острому углу: $HD = BC$ , а $\angle QDH = \angle QBC$ как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ .
Из равенства треугольников следует, что $Q$ — середина диагонали $BD$ , то есть $BQ = QD$ . Значит, искомое расстояние от вершины $C$ до середины диагонали $BD$ — это длина отрезка $CQ$ .
Найдем половину диагонали: $BQ = \frac{BD}{2} = \frac{2\sqrt{61}}{2} = \sqrt{61}$ .
В прямоугольном треугольнике $BCQ$ по теореме Пифагора найдем катет $CQ$ :
$CQ = \sqrt{BQ^2 - BC^2} = \sqrt{(\sqrt{61})^2 - 5^2} = \sqrt{61 - 25} = \sqrt{36} = 6.$

Ответ: б) 6

Источник: ФИПИ