Решение:

а) Проведем вторую высоту трапеции — отрезок $BM$.
Так как $BM$ и $CH$ перпендикулярны основанию $AD$, четырехугольник $BCHM$ является прямоугольником, откуда следует равенство $BC = MH$.
Рассмотрим прямоугольные треугольники $BAM$ и $HCD$. Они равны по гипотенузе и катету, так как боковые стороны равнобедренной трапеции $AB = CD$, а высоты $BM = CH$.
Вычислим длину отрезка $HD$:
$$AM = HD = \frac{AD - MH}{2} = \frac{AD - BC}{2} = \frac{3BC - BC}{2} = BC.$$
Тогда длина отрезка $AH$ складывается из $AM$ и $MH$:
$AH = AM + MH = BC + BC = 2BC$.
Таким образом, $AH = 2BC$ и $DH = BC$, что полностью доказывает утверждение задачи.

б)

Вспомним свойство равнобедренной трапеции: её диагонали имеют одинаковую длину, следовательно, $AC = BD = 2\sqrt{61}$.
По условию $AD = 15$, значит, $BC = \frac{1}{3} AD = 5$.
Воспользуемся высотой $CH$, проведенной в пункте (а). Как было доказано ранее, $HD = BC = 5$.
Пусть $Q$ — точка пересечения высоты $CH$ и диагонали $BD$.
Рассмотрим треугольники $HQD$ и $BQC$. Они равны по катету и прилежащему острому углу: $HD = BC$, а $\angle QDH = \angle QBC$ как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$.
Из равенства треугольников следует, что $Q$ — середина диагонали $BD$, то есть $BQ = QD$. Значит, искомое расстояние от вершины $C$ до середины диагонали $BD$ — это длина отрезка $CQ$.
Найдем половину диагонали: $BQ = \frac{BD}{2} = \frac{2\sqrt{61}}{2} = \sqrt{61}$.
В прямоугольном треугольнике $BCQ$ по теореме Пифагора найдем катет $CQ$:
$$CQ = \sqrt{BQ^2 - BC^2} = \sqrt{(\sqrt{61})^2 - 5^2} = \sqrt{61 - 25} = \sqrt{36} = 6.$$

Ответ: б) 6

Источник: ФИПИ