Задание 18

Планиметрия (с доказательством) · 59 заданий

Задание №18
№18Среднее
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N - середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N - середины гипотенузы AC и катета BC соответственно. Точка K лежит на катете BC так, что BK: KC = 1: 3. а…
Планиметрия
Задание №18
№18Среднее
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N - середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
На стороне BC треугольника ABC отмечена точка D так, что AB = BD. Биссектриса BF треугольника ABC пересекает прямую AD в точке E. Из точки C на прямую…
Планиметрия
Задание №18
№18Среднее
В трапеции ABCD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании AD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точках C и M. а) Д…
Планиметрия
Задание №18
№18Среднее
Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC - диаметр этой окружности. а) Докажите, что прямая AC пара…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
В треугольнике ABC угол A равен 120°. Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольнике ABC, пересекаются в точке H. Точка O - центр окружности, описанно…
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка M такая, что AM = MC. а) Докажите, что центр вписанной в треугольник AMD окружности лежит на диагонал…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
Биссектрисы углов BAD и BCD равнобедренной трапеции ABCD пересекаются в точке O. На боковых сторонах AB и CD отмечаем точки M и N соответственно так,…
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
Дана трапеция с диагоналями равными 5 и 12. Сумма оснований равна 13. а) Докажите, что диагонали перпендикулярны. б) Найдите площадь трапеции.
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает сторону BC в точке K, а окружность описанную около треугольника ABC, - в точке M. а) Докажите, что треу…
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает сторону BC в точке K, а окружность описанную около треугольника ABC, - в точке M. а) Докажите, что треу…
Планиметрия

Задание №18 — Многоугольники и их свойства

В треугольнике $ABC$ точки $A_{1} , B_{1}$ и $C_{1}$ - середины сторон $BC , AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ - высота, $\angle BAC = 60^{\circ} , \angle BCA = 45^{\circ} .$
а) Докажите, что точки $A_{1} , B_{1} , C_{1}$ и $H$ лежат на одной окружности.
б) Найдите $A_{1} H ,$ если $BC = 2 \sqrt{3} .$

Ваше решениедо 3 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:

а) Рассмотрим треугольник $ABC$ . Отрезок $C_{1} B_{1}$ является его средней линией, следовательно, $C_{1} B_{1} \parallel BC$ , а значит и $C_{1} B_{1} \parallel A_{1} H$ .
Аналогично, $A_{1} C_{1}$ — средняя линия, и её длина составляет $A_{1} C_{1} = \frac{1}{2} AC$ .
В прямоугольном треугольнике $ACH$ отрезок $HB_{1}$ является медианой, проведенной к гипотенузе из вершины прямого угла, поэтому $HB_{1} = \frac{1}{2} AC$ . Таким образом, $A_{1} C_{1} = HB_{1}$ .
Четырёхугольник $A_{1} H B_{1} C_{1}$ является равнобедренной трапецией, а любая равнобедренная трапеция является вписанной в окружность. Утверждение доказано.

б) Поскольку $B_{1} C_{1}$ — средняя линия треугольника $ABC$ , её длина равна $B_{1} C_{1} = \frac{BC}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .
Треугольник $A_{1} B_{1} C_{1}$ подобен исходному треугольнику $ABC$ по трем пропорциональным сторонам.
Применим теорему синусов для треугольника $A_{1} B_{1} C_{1}$ : $\frac{B_{1} C_{1}}{\sin \angle A_{1}} = 2 R$ , где $R$ — радиус окружности, описанной около трапеции $A_{1} H B_{1} C_{1}$ .
Отсюда находим радиус: $R = \frac{B_{1} C_{1}}{2 \sin \angle A_{1}} = \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{2}$ .
В треугольнике $A_{1} C_{1} H$ вычислим угол $\angle A_{1} C_{1} H$ : он равен $180^{\circ} - \angle HA_{1} C_{1} - \angle A_{1} HC_{1} = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 105^{\circ} = 30^{\circ}$ .
Снова воспользуемся теоремой синусов для нахождения стороны $A_{1} H$ :
$A_{1} H = 2 R \cdot \sin \angle A_{1} C_{1} H = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin 30^{\circ} = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ .

Ответ: б) $\frac{1}{2}$

Источник: ФИПИ