Решение:

а) Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $C_{1} B_{1}$ является его средней линией, следовательно, $C_{1} B_{1} \parallel BC$, а значит и $C_{1} B_{1} \parallel A_{1} H$.
Аналогично, $A_{1} C_{1}$ — средняя линия, и её длина составляет $A_{1} C_{1} = \frac{1}{2} AC$.
В прямоугольном треугольнике $ACH$ отрезок $HB_{1}$ является медианой, проведенной к гипотенузе из вершины прямого угла, поэтому $HB_{1} = \frac{1}{2} AC$. Таким образом, $A_{1} C_{1} = HB_{1}$.
Четырёхугольник $A_{1} H B_{1} C_{1}$ является равнобедренной трапецией, а любая равнобедренная трапеция является вписанной в окружность. Утверждение доказано.

б) Поскольку $B_{1} C_{1}$ — средняя линия треугольника $ABC$, её длина равна $B_{1} C_{1} = \frac{BC}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Треугольник $A_{1} B_{1} C_{1}$ подобен исходному треугольнику $ABC$ по трем пропорциональным сторонам.
Применим теорему синусов для треугольника $A_{1} B_{1} C_{1}$: $\frac{B_{1} C_{1}}{\sin \angle A_{1}} = 2 R$, где $R$ — радиус окружности, описанной около трапеции $A_{1} H B_{1} C_{1}$.
Отсюда находим радиус: $R = \frac{B_{1} C_{1}}{2 \sin \angle A_{1}} = \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{2}$.
В треугольнике $A_{1} C_{1} H$ вычислим угол $\angle A_{1} C_{1} H$: он равен $180^{\circ} - \angle HA_{1} C_{1} - \angle A_{1} HC_{1} = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 105^{\circ} = 30^{\circ}$.
Снова воспользуемся теоремой синусов для нахождения стороны $A_{1} H$:
$A_{1} H = 2 R \cdot \sin \angle A_{1} C_{1} H = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin 30^{\circ} = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: б) $\frac{1}{2}$

Источник: ФИПИ