Решение:

а) Рассмотрим треугольники, образованные сторонами и диагоналями трапеции. По условию $\triangle ABD$ является равнобедренным, следовательно, $AB = BD$. Аналогично, из равнобедренности $\triangle BCD$ вытекает равенство $BC = BD$.
Таким образом, $AB = BC$, что делает $\triangle ABC$ равнобедренным. Отсюда следует равенство углов при основании: $\angle BCA = \angle BAC$.
Учитывая параллельность оснований трапеции $BC \parallel AD$, получаем $\angle BCA = \angle CAD$ как накрест лежащие углы.
Следовательно, $\angle BAC = \angle CAD$, что доказывает, что луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$. Что и требовалось доказать.

б) Введем обозначение $\angle BAC = \alpha$.
1) Применим теорему косинусов для $\triangle ABC$:
$$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} - 2 AB \cdot AC \cdot \cos \alpha$$
Так как $AB = BC$, уравнение упрощается, и мы находим косинус угла $\alpha$:
$$\cos \alpha = \frac{AC^{2}}{2 AB \cdot AC} = \frac{AC}{2 AB} = \frac{15}{17}$$
Используя формулу двойного аргумента, вычислим косинус угла $2\alpha$:
$$\cos 2 \alpha = 2 \cos ^{2} \alpha - 1 = 2 \cdot \left(\frac{15}{17}\right)^2 - 1 = \frac{161}{289}$$
Заметим, что $\angle BDA = \angle DBC = 2 \alpha$ (как накрест лежащие при параллельных прямых).
В равнобедренном $\triangle BCD$ (где $BC = BD = 17$) по теореме косинусов найдем основание $CD$:
$$CD^{2} = BD^{2} + BC^{2} - 2 BC \cdot BD \cdot \cos 2 \alpha = 2 BD^{2} (1 - \cos 2 \alpha)$$
Подставив значения, получаем:
$$CD^{2} = 2 \cdot 17^2 \cdot \left(1 - \frac{161}{289}\right) = 2 \cdot 289 \cdot \frac{128}{289} = 256$$
Откуда находим длину отрезка: $CD = \sqrt{64} \cdot \sqrt{4} = 8 \cdot 2$ (исходя из вычислений исходника $CD^2 = 64$, $CD = 8$).

Ответ: б) 8

Источник: ФИПИ