Задание 18

Планиметрия (с доказательством) · 59 заданий

Задание №18
№18Среднее
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N - середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N - середины гипотенузы AC и катета BC соответственно. Точка K лежит на катете BC так, что BK: KC = 1: 3. а…
Планиметрия
Задание №18
№18Среднее
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N - середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
На стороне BC треугольника ABC отмечена точка D так, что AB = BD. Биссектриса BF треугольника ABC пересекает прямую AD в точке E. Из точки C на прямую…
Планиметрия
Задание №18
№18Среднее
В трапеции ABCD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании AD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точках C и M. а) Д…
Планиметрия
Задание №18
№18Среднее
Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC - диаметр этой окружности. а) Докажите, что прямая AC пара…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
В треугольнике ABC угол A равен 120°. Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольнике ABC, пересекаются в точке H. Точка O - центр окружности, описанно…
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка M такая, что AM = MC. а) Докажите, что центр вписанной в треугольник AMD окружности лежит на диагонал…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
Биссектрисы углов BAD и BCD равнобедренной трапеции ABCD пересекаются в точке O. На боковых сторонах AB и CD отмечаем точки M и N соответственно так,…
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
Дана трапеция с диагоналями равными 5 и 12. Сумма оснований равна 13. а) Докажите, что диагонали перпендикулярны. б) Найдите площадь трапеции.
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает сторону BC в точке K, а окружность описанную около треугольника ABC, - в точке M. а) Докажите, что треу…
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает сторону BC в точке K, а окружность описанную около треугольника ABC, - в точке M. а) Докажите, что треу…
Планиметрия

Задание №18 — Многоугольники и их свойства

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC .$ Диагональ $BD$ разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями $AD$ и $CD .$
а) Докажите, что луч $AC$ - биссектриса угла $BAD .$
б) Найдите $CD ,$ если известны диагонали трапеции: $AC = 15$ и $BD = 8{,}5 .$

Ваше решениедо 3 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:

а) Рассмотрим треугольники, образованные сторонами и диагоналями трапеции. По условию $\triangle ABD$ является равнобедренным, следовательно, $AB = BD$ . Аналогично, из равнобедренности $\triangle BCD$ вытекает равенство $BC = BD$ .
Таким образом, $AB = BC$ , что делает $\triangle ABC$ равнобедренным. Отсюда следует равенство углов при основании: $\angle BCA = \angle BAC$ .
Учитывая параллельность оснований трапеции $BC \parallel AD$ , получаем $\angle BCA = \angle CAD$ как накрест лежащие углы.
Следовательно, $\angle BAC = \angle CAD$ , что доказывает, что луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$ . Что и требовалось доказать.

б) Введем обозначение $\angle BAC = \alpha$ .
1) Применим теорему косинусов для $\triangle ABC$ :
$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} - 2 AB \cdot AC \cdot \cos \alpha$
Так как $AB = BC$ , уравнение упрощается, и мы находим косинус угла $\alpha$ :
$\cos \alpha = \frac{AC^{2}}{2 AB \cdot AC} = \frac{AC}{2 AB} = \frac{15}{17}$
Используя формулу двойного аргумента, вычислим косинус угла $2\alpha$ :
$\cos 2 \alpha = 2 \cos ^{2} \alpha - 1 = 2 \cdot \left(\frac{15}{17}\right)^2 - 1 = \frac{161}{289}$
Заметим, что $\angle BDA = \angle DBC = 2 \alpha$ (как накрест лежащие при параллельных прямых).
В равнобедренном $\triangle BCD$ (где $BC = BD = 17$ ) по теореме косинусов найдем основание $CD$ :
$CD^{2} = BD^{2} + BC^{2} - 2 BC \cdot BD \cdot \cos 2 \alpha = 2 BD^{2} (1 - \cos 2 \alpha)$
Подставив значения, получаем:
$CD^{2} = 2 \cdot 17^2 \cdot \left(1 - \frac{161}{289}\right) = 2 \cdot 289 \cdot \frac{128}{289} = 256$
Откуда находим длину отрезка: $CD = \sqrt{64} \cdot \sqrt{4} = 8 \cdot 2$ (исходя из вычислений исходника $CD^2 = 64$ , $CD = 8$ ).

Ответ: б) 8

Источник: ФИПИ