Задание 18

Планиметрия (с доказательством) · 59 заданий

Задание №18
№18Среднее
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N - середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N - середины гипотенузы AC и катета BC соответственно. Точка K лежит на катете BC так, что BK: KC = 1: 3. а…
Планиметрия
Задание №18
№18Среднее
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N - середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
На стороне BC треугольника ABC отмечена точка D так, что AB = BD. Биссектриса BF треугольника ABC пересекает прямую AD в точке E. Из точки C на прямую…
Планиметрия
Задание №18
№18Среднее
В трапеции ABCD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании AD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точках C и M. а) Д…
Планиметрия
Задание №18
№18Среднее
Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC - диаметр этой окружности. а) Докажите, что прямая AC пара…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
В треугольнике ABC угол A равен 120°. Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольнике ABC, пересекаются в точке H. Точка O - центр окружности, описанно…
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка M такая, что AM = MC. а) Докажите, что центр вписанной в треугольник AMD окружности лежит на диагонал…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
Биссектрисы углов BAD и BCD равнобедренной трапеции ABCD пересекаются в точке O. На боковых сторонах AB и CD отмечаем точки M и N соответственно так,…
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
Дана трапеция с диагоналями равными 5 и 12. Сумма оснований равна 13. а) Докажите, что диагонали перпендикулярны. б) Найдите площадь трапеции.
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает сторону BC в точке K, а окружность описанную около треугольника ABC, - в точке M. а) Докажите, что треу…
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает сторону BC в точке K, а окружность описанную около треугольника ABC, - в точке M. а) Докажите, что треу…
Планиметрия

Задание №18 — Окружности и треугольники

Окружность проходит через вершины $A , B$ и $C$ параллелограмма $ABCD ,$ пересекает продолжение стороны $AD$ за точку $D$ в точке $K$ и продолжение стороны $AD$ за точку $D$ в точке $E .$
а) Докажите, что $BK = BE .$
б) Найдите отношение $KE : AC ,$ если $\angle BAD = 30^{\circ} .$

Ваше решениедо 3 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:

а) Рассмотрим четырёхугольник $ABCD$ , который по условию является параллелограммом. В этой фигуре противоположные углы равны, следовательно, $\angle DAB = \angle BCD$ . Поскольку эти вписанные углы опираются на хорды $BK$ и $BE$ соответственно, из их равенства вытекает равенство самих хорд: $BK = BE$ . Утверждение доказано.

б) Пусть $\angle BAD = 30^{\circ}$ . Тогда, учитывая свойства параллелограмма, находим соседний угол: $\angle ABC = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$ .
Заметим, что на равные дуги (или хорды) в окружности опираются равные вписанные углы.

В равнобедренном треугольнике $BEK$ углы при основании равны: $\angle BKE = \angle KEB = \angle BAD = 30^{\circ}$ . Отсюда вычислим угол при вершине: $\angle KBE = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 30^{\circ}) = 120^{\circ}$ . Так как вершины обоих треугольников $ABC$ и $BEK$ лежат на одной окружности, воспользуемся следствием из теоремы синусов для нахождения отношения сторон через синусы противолежащих углов:
$\frac{KE}{\sin \angle KBE} = \frac{AC}{\sin \angle ABC}$
Выразим искомое отношение сторон:
$\frac{KE}{AC} = \frac{\sin 120^{\circ}}{\sin 150^{\circ}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}.$

Ответ: б) $\sqrt{3}$

Источник: ФИПИ