Решение:

а) Рассмотрим четырёхугольник $ABCD$, который по условию является параллелограммом. В этой фигуре противоположные углы равны, следовательно, $\angle DAB = \angle BCD$. Поскольку эти вписанные углы опираются на хорды $BK$ и $BE$ соответственно, из их равенства вытекает равенство самих хорд: $BK = BE$. Утверждение доказано.

б) Пусть $\angle BAD = 30^{\circ}$. Тогда, учитывая свойства параллелограмма, находим соседний угол: $\angle ABC = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$.
Заметим, что на равные дуги (или хорды) в окружности опираются равные вписанные углы.

В равнобедренном треугольнике $BEK$ углы при основании равны: $\angle BKE = \angle KEB = \angle BAD = 30^{\circ}$. Отсюда вычислим угол при вершине: $\angle KBE = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 30^{\circ}) = 120^{\circ}$. Так как вершины обоих треугольников $ABC$ и $BEK$ лежат на одной окружности, воспользуемся следствием из теоремы синусов для нахождения отношения сторон через синусы противолежащих углов:
$$\frac{KE}{\sin \angle KBE} = \frac{AC}{\sin \angle ABC}$$
Выразим искомое отношение сторон:
$$\frac{KE}{AC} = \frac{\sin 120^{\circ}}{\sin 150^{\circ}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}.$$

Ответ: б) $\sqrt{3}$

Источник: ФИПИ